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Dans un Méiuoirt; inlilulé : Bestimmung aller Fldchen die in mehrjachcr 

 Weise diirch Translalionshewegung einer Curve erzeugt werden, et inséré 

 en 1882 aux Arclw for Mathemalik og Natwvidenskab, Lie s'esl proposé 

 de rechercher les surfaces qui peuvent, de deux ou de plusieurs manières, 

 être représentées par un système d'équations de la forme (i), et il a obtenu 

 la solution complète de cette belle et difficile question. Henri Poincaré est - 

 revenu sur ce sujet à deux reprises difîérentes : d'abord dans un Mémoire 

 intitulé : Remarques diverses sur les fonctions abéliennes et inséré, en 1896, au 

 Tome I (5'' série) du Journal de Malhémaiiques pures et appliquées de notre 

 confrère M. Jordan, puis dans son Mémoire Sur les surf aces de translation et 

 les fonctions abélietines, inséré en 190 1 au Toine XXIX du liullelin de la 

 Société mathématique de France. 



Je me propose de donner ici une solution nouvelle du même problème qui 

 n'exige aucune connaissance de la théorie des fonctions abéliennes et me 

 parait se recommander par une grande simplicité. 



On peut évidemment le formuler comme il suit : 



Déterminer quatre systèmes de trois fonctions \,, ^ ,, Z, d'une même 

 rariable tels que tes trois équations 



(2) y^^i=o, y^'î^^o, ^]z,=o 



se réduisent à deux distinctes et laissent, par suite, subsister comme arbitraires 

 deux des quatre variables dont dépendent les douze fonctions. 



A chaque solution des équations (2) correspondent même, il ne sera pas 

 inutile de le remarquer, trois solutions du problème qui seront respecti- 

 vement fournies par les équations 



(3) 



(-'.) 



(5) 



Pour résoudre les équations (2 ) dairS les conditions (pii ontété indiquées, 



