SÉA^•CE DU 23 DÉCEMBRE 1912. l45l 



différentions-les et posons 



Nous admettrons dans la suite que x-, n'est pas une constante. Comme 

 en combinant linéairement les équations (2) on peut toujours remplacer a?, 

 par la fraction rationnelle à coefficients constants 



a -+- b.Vî-h c y, 



«1+ ii.r, + c,;-,- 



on voit que l'on peut toujours supposer x-, variable, à moins que y. eta7,ne 

 soient constants tous les deux, auquel cas la courbe (C,) décrite par le 

 point (X,-, y,-, Z,) serait une droite de direction fixe et ne pourrait qu'en- 

 gendrer un cylindre par sa translation. Pour une telle surface, le problème 

 que nou^avons à résoudre ne se pose même pas. 



Nous pourrons donc, dans ce qui va suivre, regardera;, comme variable 

 et admellie que X,, \ ,, Z, sont des fonctions de a-,. Alors la différentiation 

 des équations (2) nous donnera les trois équations 



'. i i 



(7) 2rfX,=:o, '^x,d\i=o, '^ridX,= o. 



yi étant comme les X,, Y,, Z, une fonction y,(.r,) de a;,. 



Pour que ces trois équations se réduisent à deux, il faut qu'on retrouve 

 la troisième en ajoutant les deux premières après les avoir multipliées par 

 des quantités convenablement cboisies/? et y, c'est-à-dire que l'on ait 



( 8 ) /}~hq .r ,■ =: y, = J) ( .€,■ ) . 



Car il suffit de choisir jo et q de telle manière que les coefficients de <^X, , 

 f/Xa, par exemple, soient nuls. Ceux de dX.^, d\^ devront l'être aussi. 



Au reste, les équations (8) ont une origine géométrique évidente. Elles 

 expriment que les tangentes aux quatre courbes (C,) sont dans le plan 

 tangent 



(9) d7.=/jdX + q(i\, 



à l'une quelconque des trois surfaces représentées parles équations (3), 

 (4), (5). 



Les équations (8) peuvent être considérées comme déleriuinaut chaque 



