SÉANCE DU 23 DÉCEMBRE 1912. l455 



dépendante des seules variables y>' =z p -\- qh el //, nous aurons 



. (j-F . , Ô'V , û'F , O'F . Û'^F O'F 



Celle équaliondoil avoir lieu quel que soit r/. Les coefficienls des diverses 

 puissances de celle variable doivent donc être nuls et, par suite, la fonction F 

 doit être un polvnonie entier du quatrième degré par rapport aux variables 

 p' et h. 



Ce résultat nous suflil. Un en déduit d'abord que G (9) est le coeflicienl 

 de la plus haute puissance de h dans le polynôme F(jo -f- qli, h). Et l'on 

 voit ensuite que, si l'on fait // = r,, /; + qh devenant égal à y^ en vertu de la 

 formule (8), on a la relation 

 (•4) F(j,-, Xi)-^-o, 



qui représente une courbe du quatrième degré, lorsqu'on y regarde Xi, y, 

 comme les coordonnées d'un point du plan. 



Si Ton y remplace -i',, y, f)ar leurs valeurs (6). l'équation (2/1) devient 



(24 /Jt'.s) 



''(S'S)=«- 



el nous conduit iainiédiatement au résultat fondamental de Lie : 



Les parallrtes menées par un point fixe aux tangentes de lune quelconque 



des courbes (C,) sont les génératrices d'un cône algébrique du quatrième 



ordre. 



Pour achever la solution du problème, il ne reste plus qu'à déterminer les 



fonctions X,-, Y,-, Z,-. On y parvient comme il suit :■ 

 Au\ trois équations (i4) joignons la suivante : 



(20) 





' <'r " ^'(q) 



OÙ nous avons tenu compte du changement de notations par lequel on passe 

 de l'écjuation ( 22 ) à l'équation ('■î3). Si nous posons 



z::: j:' -i- A J- + u. x -(- V , 



el que nous ajoutions à l'équation (25) les équations (i4)? après les avoir 

 multipliées respectivement par v, ix, "k, il viendra 



dp G{q)' 



