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et alors l'équation (i3) nous donnera 



^'^^ ''-^'-r/(.,,)G(7) 



Or, si l'on différentie l'équation 



F(p + r/^,.r) = G(,/)5(.r) = o, 



qui détermine x^ et si l'on remplace ensuite x par a;,, il vient 



Portons la valeur de f/p -+- .r,f/y dans l'équation (26). ÎNous trouverons 



dSi _ dyi 



dX, =— 



5t/^-^''"'-^ ^Z'^-'''--"'' 



Si nous tenons compte des relations (G), nous voyons que l'on peut 

 écrire 



(27) d\i— — , d\i^— , dl,— 



^/(7,,-r,) ^/(/"■^') jy^'^y--"^ 



Ainsi les X,-, Y,-, Z,- sont les trois intégrales abclienncs de première espèce 

 attachées à la courbe représentée par l'équation (24). Remarquons d'ailleurs 

 qu'en reprenant notre démonstration en sens inverse, on établirait pour 

 cette courbe le théorème d'Abel, dont nous n'avons pas, par conséquent, à 

 faire état. 



Les résultats que nous avons obtenus s'appliquent quand la courbe du 

 quatrième ordre se décompose. Nous allons dire quelques mots des divers 

 cas qui peuvent se présenter. Remarquons d'abord que nous pouvons 

 parler indifl'éremment, soit de cette courbe, soit du cône engendré par les 

 parallèles menées d'un point fixe aux tangentes des courbes (C,). 



Supposons d'abord que ce cône se décompose en un plan el un cône 

 indécomposable du troisième ordre. Une des courbes (C,) sera plane, mais 

 il n'y aura, comme dans le cas général, que deux modes de génération pour 

 chacune des trois surfaces représentées par les équations (3), (4), (5). 



Si le cône se décompose en deux cônes du second degré qui soient 

 eux-mêmes indécomposables, il est facile de mettre en évidence, pour une 

 des trois surfaces représentées par les équations (^3), (4)) ( ')' ""c inlinilé 



