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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur iinlégralion des fondions mesurables. 

 Noie (le M. D.-Tn. Egoroff. 



iM. I.usin vient de résoudre (') le [)roblome des fonctions primilives 

 pour toutes les fonctions mesurable^ (-), en indiquant le moyen de cons- 

 truire une fonction continue F (a?) admettant [)our dérivée une fonction mesu- 

 rable àonnèeficc), sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. Du reste, 

 à une fonction /(x) donnée correspond une famille de fonctions primi- 

 tives F(;r j, deux fonctions quelconques de la famille dillérant par une fonc- 

 tion continue à dérivée nulle, sauf aux points d'un ensemble de mesure 

 nulle. 



Les recherches récentes sur l'intégration, d'autre part, ayant considéra- 

 ])lement élargi la classe des fonctions inlègrables (fonctions intégrables au 

 sens de Riemann, fonctions sommables, fonctions totalisables), il n'est pas 

 superflu, peut-être, de rappeler que le problème, dont la solution a été 

 donnée par M. Lusin, ne peut pas être résolu, dans toute sa généralité, au 

 moyen d'un procédé d'intégration quelconque généralisant les procédés de 

 Riemann et de M. Lebesgue. 



Il est évident, en efi'et, que les deux propriétés 



2° / f(jc) d.v^o {/(:v)ç.o pour a'r^x'îb) 



<- Il 



appartiennent à toutes les intégrales généralisées, qui s'obtiennent par 

 divers passages à la limite en partant des sommes composées avec les 

 valeurs de la fonction, multipliées par des quantités positives (longueurs 

 d'intervalles, mesures des ensembles). 



Or, soit /(j;) une fonction positive (ou bien, du moins, non négative) 

 dans l'intervalle considéré. Comme on a 



f f{.r)d.r-f f{x)dx^f f{.x)clx, 



•■',1 'J H "^.l 



(') Recueil malliématic] lie de Moscou, t. XVVIII; Comptes rendus, 17 juin 1912. 

 (-) Le problème n'a pas de sens |)our une fonction qui est infinie aux points d'un 

 ensemlile de mesure non nulle. 



