SÉANCE DU 2,3 DÉCEMBRE 1912. l^jS 



l'intégrale de /"(a;) est une fonction croissante (ou bien, du moins, non 

 décroissante) dans l'intervalle considéré. Une fonction arbitraire f{x) 

 étant une différence de deux fonctions non négatives 



(A) ^[i/(^M + /(-r)], ^[|/(^)l-/(-r)]. 



rintégrale généralisée serait toujours une fonction à variation bornée. Or 

 une fonction à variation bornée a une dérivée finie et sommable^ sauf aux 

 points d'un ensemble de mesure nulle ('). On en conclut que l'intégration 

 généralisée, appliquée à une fonction positive non sommable, ne saurait 

 donner qu'un résultat infini. 



En résumé, on voit bien que tout procédé d'intégration, possédant les 

 propriétés i" et 2", n'est pas apte à résoudre dans toute sa généralité le 

 problème des fonctions primitives résolu par M. Lusin ; il ne peut réuss'r 

 (les fonctions sonimables mises à part ) que pour une classe plus ou moins 

 restreinte de fonctions non bornées ni supérieurement ni inférieuremeni, 

 l'intégrale d'une telle fonction étant, pour ainsi dire, la vraie valeur de 

 l'expression indéterminée 00 — (to . 



Je finirai en remarquant que l'expression d'une fonction arbitrairey(.r) 

 par la différence des deux fonctions (A), augnienlées d'une constante posi- 

 tive quelconque, nous conduit immédiatement à ce résultat : les fonctions 

 primitives de M. Lusin sont des différences de fonctions continues, partout 

 croissantes, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. 



THÉORIE DES FONGTIOXS. — Sur les propriétés de l'inlégrale de M. Deiijoy. 

 Note de M. N. Lusin, présentée par M. Emile Picard. 



L 11 est bien connu que la notion de l'intégrale de M. Lebesgue est 

 intimement liée à celle de fonction à variation bornée. On sait d'ailleurs 

 que la notion de l'intégrale définie a été étendue par M. Denjoy dans une 

 Note récente (i"' avril 1912). Le but de cette Note est de montrer que la 

 notion de l'intégrale au sens de M. Denjoy conduit immédiatement à une 

 classe nouvelle de fonctions continues qu'il est naturel d'appeleryb/2c/«'oA*^ 

 à variation bornée généralisée. 



(^' ) Voir p. ex. : I^edesgie, Leçons sur V inlégrallon^ p. 128. 



