1476 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



II. Soit F(a;) une fonction continue dans un intervalle {a,b)(a <^b); 

 soit P un ensemble parfait (dense ou non) donné sur («, h). 



Désignons par 2 un système d'un nombre fini (soit ÎS) d'intervalles 



(i) A,, A, A3, ..., Aji, 



qui jouit des propriétés suivantes : 



1° Les intervalles A, et Aj (i ^j) n'ont pas deux points communs; 



2" Tout point de P est un point d'un de ces intervalles (les extrémités 

 comprises); 



3° Tout intervalle A, contient à l'intérieur (au sens large) au moins un 

 point de P. 



Désignons par M,- et m, les maximum et minimum de F(x) dans l'inter- 

 valle A,(i = 1 , 2, 3, . .., N) et formons la somme v 



(=> 



i = \ 



Nous dirons que la fonction F(a;) est fonction à variation bornée pour 

 r ensemble parfait P, s'il existe un nombre fini K tel qu'on ait toujours 



i'<K, 



quel que soit le système d'intervalles S ayant les propriétés énoncées. 



On déduit aisément de cette définition que le nombre v tend vers une 

 limite déterminée quand la mesure du système S tend vers la mesure de P 

 et quand le maximum de la longueur des intervalles employésAoAojAa,..., 

 A^ tend vers zéro. iNous désignerons cette limite par v^ (i'p<K) et l'appelle- 

 rons la variation totale de ¥ {x) pour l'ensemble parfait P. 



Nous dirons qu'une fonction F(>r) continue dans (a, b) est une fonction 

 à variation bornée généralisée dans (a, b), si, quel que soit un ensemble par- 

 fait P situé sur («, 6), il existe toujours un intervalle A ayant les propriétés 

 suivantes : 



1° Les points communs à l'intervalle A et l'ensemble P forment un 

 ensemble parfait. Désignons-le par P^; 



2° La fonction F(a;) est à variation bornée pour l'ensemble P . . 



III. Ces définitions très élémentaires permettent d'obtenir les résultats 

 suivants : 



