SÉANCE DU 23 DÉCEMBRE 1912. l477 



Théorème I. — Toute intégrale indéfinie fie M. Denjoy est une fonction 

 continue à vai-iatioii bornée généralisée. 



Théohkme II. — Toute fonction F (^r) continue et à variation bornée géné- 

 ralisée dans un intetxalle {a, b^ a une dérii'ée finie, sauf aux points d'un 

 ensemble de mesure nulle. 



Théouème III. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonc- 

 tion F(;r) continue et à variation bornée généralisée soit l'intégrale indéfinie 

 de sa dérivée au sens de M. Denjoy est que la variation totale de F(j:;) {sup- 

 posée existante) Vp pour tout ensemble pai fait P de mesure nulle soit nulle. 



On voit bien que l'intégrale de M. Denjoy et les fonctions à variation 

 bornée généralisée présentent une analogie avec l'intégrale de M. Lebesgue 

 et les fonctions à variation bornée. 



IV. On pourrait même poursuivre cette analogie jusqu'à la théorie des 

 séries trigonométriques, mais dans ce cas elle est incomplète. En effet, on a 

 le théorème suivant : 



Théorème. — Si F(.r) est une fonction continue et à variation bornée 

 généralisée dans l'intervalle {o, 271), la série trigononiétrique de Fourier de 

 F(a7) est partout convergente, sauf peut-être les points d' un ensemble non dense 

 de mesure nulle. 



Enfin, pour faire l'application de l'intégrale de M. Denjoy à la théorie 

 des séries trigonométriques, il suffit de démontrer pour cette intégrale le 

 second théorème de la moyenne. 



Théouème. — Si f(x') est une fonction totalisable dans (a, b) et ^(x) est 

 une fonction continue et monotone dans (a, b), on a l'égalité 



J f{j:)<b{u:)d^=<b{a)j f{x)djo + <P(b)J f{x)dx, 



où a^^Sb, les intégrales étant prises au sens de M. Denjoy. 



On le démontre de proche en proche (voir la Note citée de M. Denjoy). 

 En partant de ce théorème, on généralise sans difficulté la notion de la 

 série de Fourier. 



Ilu L 1 s R a R ^ 





