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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'exislence des dérU'ées. 

 Note de M. P. 3Io.\tei., présentée par M. Emile Picard. 



I. M. H. Lebesgue a démontré (ju'une foiiclion d'une variable x dont 

 les nombres dérivés sont bornés dans l'intervalle (0,1), par exemple, 

 admet une dérivée presque partout dans cet intervalle, c'est-à-dire adiriel 

 une dérivée sauf peut-être pour les points d'un ensemble de mesure nulle. 

 Je me propose d'établir qu'il en est de même pour une fonction f(x) dont 

 les nombres dérivés sont //'«« en cbaque point de l'intervalle (o, i). 



Soient A,/ et À,/ les nombres dérivés supérieur et inférieur à droite, A„ 

 et "kg les nombres dérivés correspondants à gauche. Montrons d'abord 

 que A,/ = Xrf presque partout. S'il n'en était pas ainsi, il existerait un 

 nombre positif a tel que l'ensemble des points pour lesquels A^ — A,/ est 

 supérieur à 2a ait une mesure non nulle. On déduit de là l'existence d'un 

 ensemble E, de mesure positive s pour les points duquel on a 



(i) }.,,<py.. V,/> (/J-H I la, 



p étant un entier ('). 



Enfermons les points de l'ensemble complémentaire de E, dans une 

 inlinité dénombrable d'intervalles sans point commun deux à deux et dont 



la somme des longueurs soit inférieure k i — -■ Les points non intérieurs à 



ces intervalles forment un ensemble parfait E_. contenu dans E, et dont la 



mesure est au moins royale a -• 



Soit P un point de Eo : si dans un intervalle assez petit de milieu P, les 

 points de E^ forment un ensemble de mesure nulle, je dirai que P est un 

 point de mesure nulle; sinon, P sera un point de mesure non nulle. 

 L'ensemble E3 des points de Ej qui ont une mesure non nulle est un 

 ensemble parfait ayant la même mesure que I'], et tel que toute partie de 

 cet ensemble E3, si petite soit-elle, ail une mesure positive. 



L'ensemble des points de E3 autour desquels l'un des nombres A„ ou A„ 

 n'est pas borné est non dense sur E^ (-). On peut donc extraire de l'en- 



(') Cf. W.-H. YouNG el G. Chishoui Youni;, Proceed. London Malli. Soc, 1911, 

 p. 325. 



(') Cf. P. MoNTEL, Leçons sur les séries de polynômes à une variahli; complexe, 

 p. 109. 



