SÉANCE DU 23 DÉCEMBRE 1912. l479 



semble E3 un ensemble parfait E, de mesure positive, en chacun des points 

 duquel les nombres A,- et A„ sont bornés. Soient u,, u,, ■ ■ ■ , ii„, ... les 

 segments conligus à E,, et V(m„) le maximum de la valeur absolue de 

 raccroissement de f{oc) pour deux points de u„. M. Denjoy a démontré 

 que l'ensemble des points appartenant à un ensemble parfait E,, autour 

 desquels la série des nombres ^ (w„) est divergente est non dense sur E, ('). 

 On peut donc extraire de E; un ensemble \\ de mesure positive tel que, en 

 tout point de M, les inégalités (i)soient vérifiées, les nombres A„et Assoient 

 bornés et la série SV(a„) étendue à tous les segments «„ contigus à E soit 

 convergente. Si l'on évalue alors l'accroissemenl _/"( i ") — /(o) en utilisant 

 d'une part les intervalles u^ et les nombres A,;, A„, A„ et d'autre part les 

 intervalles «„ et les nombres A^, A„, A^ on aboutit à une contradiction. Les 

 mêmes raisonnements, appliqués aux différences Ag. — A„ et A,/ — A^., con- 

 duisent au théorème : 



Une fonction f (x) dont les nombres dérivés sont finis en chaque point d^un 

 intervalle admet une dérivée presque partout dans cet intervalle. 



1. Il résulte de la proposition précédente que la suite d'opérations ima- 

 ginée par M. Denjoy (-) pour passer d'une dérivée finie à la fonction pri- 

 mitive peut être aussi utilisée pour les nombres dérivés finis. On peut 

 d'ailleurs l'établir facilement et en déduire une démonstration directe du 

 théorème que nous avions en vue. Mais la démonstration précédente, qui 

 doit être rapprochée de celle que M. \^'.-H. Young et M'"* G.-Ch. 

 Young (^) ont donnée du théorème de M. Lebesgue, ne fait intervenir ni 

 la notion d'intégrale indéfinie ni celle de nombre transfini. En outre, elle se 

 prête aisément à la généralisation qui suit. 



3. Supposons que la fonction y(x) puisse admettre des nombres dérivés 

 infinis pour un ensemble de valeurs de x en lesquellesy(a7) n'est pas néces- 

 sairement continue. 



La mesure de P ensemble des points pour lesquels J\x) admet une dérivée est 

 la même que celle de r ensemble des points où les nombres dérivés sont finis. 



En particulier, si/(x) est à variation bornée, on sait que l'ensemble des 



(') Comptes rendus, t. 154-, 1912, p. 809. 



(") Loc. cit. cl Comptes rendus, t. IS'i-, 1912, p. 1076. 



( ' ) Loc. cit. 



