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points OÙ l'un des nombres dérivés est infini a une mesure nulle : on 

 retrouve ce résultat qu'une fonction continue ou non, à variation bornée, 

 a une dérivée presque partout. 



On voit aussi que, pour qu'une fonction n'admette de dérivée en aucun 

 point de l'intervalle (o, i), il est nécessaire que l'ensemble des points où 

 l'un des nombres dérivés est infini ait pour mesure l'unité; c'est le cas, par 

 exemple, de la fonction continue sans dérivée de Weierstiass. 



Enfin le tbéorème précédent est encore applicable aux fonctions qui ne 

 sont définies que pour les points d'un ensemble parfait. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de Fourier convergentes 

 presque partout. Note de M. W.-H. Young, présentée par 

 M. Emile Picard. 



1. Il est souvent d'importance de savoir si une série de Fourier donnée 

 est convergente, sauf pour les valeurs de œ formant un ensemble de mesure 

 nulle. Fatou (') fut le premier à aborder la question. Ses résultats ont été 

 notablement étendus par Jerosch (^) et par Weyl ('). Mais tous les théo- 

 rèmes sur le sujet, jusqu'à présent obtenus, résultent comme simples corol- 

 laires du théorème général que je vais démontrer. 



2. Théorème. — Soit f(x) une fonction sommable ^ et 



f{x) ryj - flj -1- \ (^a,, cosrij: -+- b„ sin/jx), 



la série 



(i) y n~i'la„coinjc-\-b,i<,\niix). 



n = i 



converge presque partout^ p étant un nombre positif (y' o) quelconque. 

 Soient 



Sn{-r)=^r-i{arCosi\x + brsinrx), s„ ( j) = V r-'/cos/-.r (o<«/</)). 



(') Acla mathematica, t. XXX. 



(') Matliematische Annalen, t. LWI. 



(') Ibid., l. LXVII. 



