SÉANCE DU 23 DÉCEMBRE 1912. l4Bl 



D'après une formule connue, 



S„(x)=-/ s„{u)/{a; + u)i/ii. 



r^ n 



i.s',, (x) siri -X = sin - o^* -H \ r~'n sin | / -l \ jc — sin ( /* ] j- 



Oi 



(=2 



Donc 



(2) 27lS„(j:-) = //'?/„ + V[(/—l)-''- /-'/]/,._,, 



où 



(3) |/(^'/„|=r / y( j- + // ) ( coséc - (/ j /i" '■ siiil « -t- - j (/ ( co>éc — (M \(ii'\ 



Cl; étant, comme on le voit facilement, une constante dépendant seulement 

 de^('). Cette formule suppose que l'intégrale qui enformele dernier membre 

 existe, ce qui aura lieu, d'après un théorème que j'ai déjà démontré (^- ), sauf 

 pour des valeurs de a^ formant un ensemble de mesure nulle, comme y (a;) 



et (coséc-;r) sont des fonctions sommables. Désignant donc par F(a;) 



la valeur finie de cette intégrale en un point r n'appartenant pas à l'en- 

 semble de mesure nulle, on aura 



7:|S„(^)|<F(.r) /i^'?'-''- 2 ['-''-{r+i)-'']r''\<BF{x) (o</r<<7), 



OÙ B est une constante finie indépendante de n. Par conséquent les limites 

 supérieures et inférieures d'indétermination de S„(a-') en chacun de ces 

 points sont finies. 



Mais par un théorème bien connu d'Abel, si la série 11, -i- 11., -h ... n ses 

 limites d'indétermination finies, la série 



^n-P^''i,n (q<p) 



n = t 



(') Voir W.-H. YoiiNC The coinergence of certain séries iinoU'ing ihe Fotirier 

 Constants of a Function {Royal Soc. Proc. A, t. LXXXVII, 1912, p. 221). 

 (-) Comptes rendus, t. 135, p. 3o (séance du i" juillet i9r2). 



C. K.,1912, i" Semestre. (T. 155, N» 86.) ^9^ 



