SÉANCE DU 23 DÉCEMBRE I9I2. l483 



forme que je propose contienl les coefficients de la même équation et elle 

 peut être déduite de la substitution donnée par des opérations rationnelles. 



I. Soit 



(i) A(S) = S"-c, — c-oS-c^S^ — ...— c„S''-' = o 



l'équation caractéristique de la substitution. 



Supposons d'abord qu'à chacune des racines distinctes Me A(S) ne 

 corresponde qu'un seul diviseur élémentaire; si, par exemple, n est égal 

 à 4) ■A(S), décomposé en ses diviseurs élémentaires, sera supposé avoir 

 l'une des formes suivantes : 



iS-S,)(S-S,)(S-S3)(S-S;); (S-S,)'(S— S,)(S— S3); " 

 (S— S,r{S-S,)^ (S-S,)'(S-S,); (S— S,)S 



où S,, S., S,, S., sont différents; autrement dit, A(S) comprend un seul 

 produit élémentaire ('), ce qu'on sait reconnaître par des opérations ration- 

 nelles. 



Jm nouvelle forme réduite est alors la suivante : 



(■3) V,= j',, Y„— ^'3 \„_, = _r„, Y„=Ci/i + rjK2-r. .. + c,,r«, 



oii f,, r^, ,.., c„ sont les coefficients de l'équation (i). 



II. Dans le cas général, on peut décomposer A(S) sous la forme 



suivante : 



A(S) = A,(S).A.,(S)...Aa-(S), 



A, (S), Ao(S), ... étant les produits élémentaires. A chacune des racines 

 distinctes de A, ne correspond dans A,- qu'un seul diviseur élémentaire. Soit, 

 par exemple, 



A(S) = (S - S,)''(S - S,) (S - S,)^(S - S,)MS - S,) (S - 83)^8 - S3), 

 la décomposition de A(S) en ses diviseurs élémentaires ; on aura 



A,(S)==(S-S,)HS-S,)nS-S3)\ 

 A,(S) = (S-S.) (S-S,)^(S-S3). 

 A,(S) = (S-S,). 



En général, chacun des polynômes A,, A,, ..., A/, est divisible par le 



(') Pour la définition de ce terme, proposé par M. J. Drach, \oir son article de 

 V Encyclopédie (p. 394). 



