SÉANCE DU 23 DÉCEMBRE I912. l/i85 



ANAi-YSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations linéaires aux différences finies. 

 Note de M. IVôrlunu, présentée par M. Appell. 



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Dans une Note précédente (' ), j'ai considéré une classe assez générale 

 d'équations linéaires aux différences finies dont les coefficients se repré- 

 sentent par des séries de facultés. J'ai indiqué certains développements pour 

 les solutions de ces équations ;«mais la démonstration de la convergence de 

 ces développements demande des explications un peu longues. La difficulté 

 provient notamment de ce fait que la série de facultés, en général, ne 

 converge pas absolument dans tout son domaine de convergence. Dans 

 cette Note je considère un cas particulier de ces équations où cette difficulté 

 ne se présente pas, et où l'on peut simplifier beaucoup les démonstrations 

 en se reportant à la théorie des équations différentielles linéaires. C'est le 

 cas où les coefficients de l'équation aux différences sont des fonctions 

 rationnelles. De telles équations ont récemment fait l'objet de travaux 

 remarquables dus à MM. ( ialbrun et Birklioff. Les recherches de ces auteurs 

 sont fondées sur la considération de certaines séries de puissances qui 

 satisfont formellement à l'équation et représentent asymptotiquement les 

 solutions dans certains angles. Mais ces séries sont toujours divergentes et 

 d'ailleurs très difficiles à former effectivement. Il faut admettre que la série 

 de puissances se prête mal à l'étude des solutions des équations aux diffé- 

 rences finies ; c'est ici à la série de facultés qu'il faut avoir recours, toute la 

 théorie y gagne beaucoup en clarté et en beauté. 



Soit une é(juation aux différences finies de la forme 



(') VQ,.(,,.)Ai,,/(.r)=:0, 



1=0 



où 



Ai, u{x) — u[^x)—{ I ,/(.r — 1) +.. •+ (— 1)' "(-i' — 0' 



les coefficients Q,(J7) étant des polynômes en x. Soit />>« le degré de 

 Q„(a;); on suppose que le degré de Q„_,(.x-) est inférieur ou égal k p ~ i. 

 On peut satisfaire à cette équation par une intégrale de la forme 



a(j:): 



/ <■'■-' v{t)dt, 



(') Comptes rendus, i5 novemljre 1909. 



