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v{t) étanl une fonction qui satisfait à une équation difFérentielle linéaire 

 d'ordre/) et admettant pour points singuliers les points o, i et ce. Ajoutons 

 que ces points sont toujours des points singuliers réguliers. Prenons pour 

 ligne d'intégration un lacet partant de l'origine et y revenant après avoir 

 entouré le point / = i. Soit t'(/) une des solutions non holomorphes au 

 voisinage de / = i 



En Intégrant terme par terme, on trouve la série de facultés 



v=;0 



Les coefficients Av dans cette série sont les coefficients dans le dévelop- 

 pement canonique de p(/) au voisinage de / = i. Soient a,, y..,, ..., x^, les 

 racines de l'équation Q„(.'"+ n) = o. La série de facultés est absolument 

 convergente, pourvu que la partie réelle de;ï' soit plus grande que celle de 

 ces racines dont la partie réelle est la plus grande. 



Prenons en second lieu pour ligne d'intégration un lacet parlant de 

 l'infini et y revenant après avoir entouré le point f = i. On obtient une 

 nouvelle solution u(^x) qui se représente par un développement de la forme 



(3) ^(^)-,..-.^.., n-^— P) 'y (P+.)(P + .-)...(3-t-v) , 



(d) «(.r)_e r(_p)r(i-^)Zj^(.r — i)(a;-3)...(,r — V) 



v = o 



i — n 



Soient y,, y^, ..., y,, les racines de l'équation ^Q,("C) = o ; cette série 



de facultés est absolument convergente, pourvu que la partie réelle de x 

 soit plus petite que les parties réelles de ces racines. Les coefficients 

 B„, B,, B^, ... sont les différences successives des coeflicientsAo, A,, A^, ..., 

 c'est-à-dire on a 



Cette relation joue un rôle important dans l'élude des propriétés des 

 solutions. 



Si le développement de i(/) contient des termes logarithmiciues, les 

 séries (2) et (3) se remplacent par des développements de la forme 



(5) ti (u- ) = (l\ "" rvo(-i-) + 9i (^O l"s(^;^) +... + 'f „,(■'■) loï 



