SÉANCE DU 2?) DÉCEMBRE I912. 1487 



y„(a;), ..., p,„(^) étant des séries de facultés convergentes sous les mêmes 

 hypothèses que plus haut. L'équation différentielle à laquelle satisfait i'(t) 

 admet rt solutions non holomorphes au voisinage de ^= i. La première 

 ligne d'intégration nous donne donc n solutions «, (,r), H2(x),..., iin(je) 

 qui forment un système fondamental. Ces solutions sont des fonctions 

 méromorphes n'admettant d'autres points singuliers à distance finie que les 

 p(jles a, — 5(j = i, 2, ...,p\s = o, 1, 2, ...). La seconde ligne d'inté- 

 gration nous donne n solutions indépendantes ;/, (^), u^Çf), ..., u„(x') qui 

 sont des fonctions méromorphes n'admettant d'autres points singuliers à 

 distance finie que les pôles y, + .?(?'= i, 2, . ..,/?; 5 = 0, 1, 2, ...). Les 

 développements précédents permettent immédiatement de voir comment 

 se comportent asyniptotiquement nos solutions quand x tend vers l'infini 

 en restant dans le demi-plan de convergence. Pour voir comment elles se 

 comportent en dehors des demi-plans de convergence, il suffit de former les 

 relations linéaires à coefficients périodiques qui existent entre les m, (a;) et 

 les Ui(^). Ces coefficients périodiques sont des fonctions rationnelles de 

 g27n.i- L'^(yfie (]ç ]a forme de ces fonctions repose essentiellement sur l'exis- 

 tence de la relation (4). On obtient ainsi le résultat suivant : A chacune des 

 solutions u(^x) définies plus haut il correspond un nombre p et un entier non 

 négatif m tels que l'expression 



u{x) 



(Sf 



+1 

 log'" 



tend uniformément vers une limite ^nie et non nulle quand x tend 11ers l'infini 

 en restant dans P angle -k — £>Argj\> — tî-i-s, t étant un nombre positif. 



Quand x tend vers l'infini le long d'une droite parallèle à l'axe des 

 nombres négatifs, cette limite n'existe plus. Mais les relations susdites per- 

 mettent même en ce cas de voir comment se comporte u(x). 



Les équations que nous venons d'étudier occupent dans la théorie des 

 équations aux différences finies la même place que les équations différen- 

 tielles dites de Fuchs dans la théorie des équations différentielles linéaires. 



