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conjuguée à ce réseau. La droite xx' coupe F de nouveau en x. Je dis que 



ce point décrit un réseau conjugué (a;). 

 Soit en effet 



, . d'^x dx ,dx 



(0 ->, — 5 — 1-«^ ^o- — \-cx^^o 



ou âv au Oi' 



l'équation de Laplace qui correspond au réseau (x) et supposons que x' 

 soit un des foyers du rayon xx' de la congruence [xx'). Les coordonnées 

 Xj et x'- de X et x' vérifient le système suivant : 



, , àx' fâu. , \ i)x' ( ôx 



u. étant une solution de l'adjointe de (i). Si l'on pose 



on démontre que X est une solution de (i) et que X' est la solution de (2) 

 qui correspond à X (Drach, Bulletin des Sciences, i8<)7, p. i4o). Enfin, 

 comme on peut prendre pour les coordonnées de a-, 



x,-^\'Xi — Xj;', (i = I, 2, . . . , 6), 



il en résulte (Drach, loc. cit.^ p. 144) que ce point décrit bien un réseau 

 conjugué. 



2. Ce théorème constitue une généralisation d'un théorème connu de 

 Ribaucour (Darboux, Théorie des surfaces, t. II, p. 289). C'est en même 

 temps une transformation des congruences W. Or il existe deux con- 

 gruences (a:js)et(a;>''2') conjuguées à {x) et formées par des génératrices 

 rectilignes de F (voir ma Note déjà citée^. 



Considérons le phin des droites xx' et xy z:, il enveloppe un réseau con- 

 jugué (/) harmonique aux congruences {xyz) et (^xx'). Le même plan 

 coupe F suivant deux droites : l'une est xyz\ l'autre, xyz, passera évidem- 

 ment par x. Cette dernière droite, xyz, décrit une des congruences conju- 

 guées au réseau {x) et formée par des génératrices de F. 



De sorte que les deux rayons xyz et xy' z' de ces deux congruences ren- 

 contrent les deux rayons xyz et xy'z' des congruences (^xyz) et {xy z') en 

 deux points \ et ^', qui décrivent évidemment des réseaux conjugués. 



Par conséquent, la transformation qui nous fait passer du réseau {x) au 

 réseau (c) nous conduit en même temps à deux réseaux nouveaux (^) 

 et il'). 



