SÉANCE DU 3 JANVIER 1911. 3^ 



3. Il est aisé de voir ce que donnent les considérations précédentes pour 

 notre espace. On aura 4 congruences W ayant seulement 4 surfaces focales 

 différentes, parce que les congruences qui coirespondent aux réseaux (x) 

 et (i), par exemple, ont une même surface focale. 



Si l'on remarque n)aintenantque, à l'aide des congruences (a: a:') et (a;j a:) 

 conjuguées au même réseau (x), on peut déduire une simple infinité de con- 

 gruences toujours coujuguées à (.v), dont les rayons coupent F suivant le 

 réseau (x) et suivant une infinité de réseaux décrits par des points situés 

 snr xyz, on a aisément le théorème suivant de M. Biauclii : 



Si l'on considère deux congruences W ayant une même surface focale S et 

 si S, e/ So sont les deux autres surfaces focales de ces congruences, il existe 

 une simple infinité de surfaces S' qui soient avec 'è^ et S., les surfaces focales 

 d'un couple de congruences W analogue à celui d'où nous sommes partis. 



4. Soient M,, M., M' les points des surfaces S,, S^, S' qui correspondent 

 au point M de S. A la tangente MT menée à l'une des ligues asymplotiques 

 de S qui se croisent en M correspondront les tangentes M|T,, M^T^ 

 et M'T' aux lignes asymptoliques correspondantes de S,, So et S'. J'ai 

 démontré que les quatre droites MT, M,T,, M„Tn et M'T' sont les géné- 

 ratrices reclilignes d'une même quadrique. Par conséquent, lorsque S' 

 varie, M'T' décrit la série linéaire définie par MT, M,T, et MoT.j. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des fonctions symétriques. 

 Note de M. Micmx de Dumkczky, présentée par M. Jordan. 



Les fonctions symétriques les plus distinguées sont les sommes des 

 puissances des variables a;,, x^, x^., . . ., x,„ nommées les sommes de Newton. 



Soil 



s\=.'v\ + x\ -{-... + xi. 



Soient les fonctions symétriques élémentaii-es désignées de la manière 

 suivante : 



^XiXiXi . . . Xr^= (— ifa,- 



On sait que toute fonction symétrique rationnelle entière des varia- 

 bles a?,, a^j, ..., x„ s'exprime comme une fonction algébrique entière des 

 fonctions symétriques élémentaires 



2 Ax«.x?' . . . a-f,"= *(«,, a,, «3, • ■ • : «„) = cafa^af . . . a^ -h. . . . 



On peut construire la fonction s^ d'après les lois de Cayley, nommées 

 la loi de degré et la loi de poids littéralement, c'est-à-dire sauf les coeffi- 



