38 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



cients c. Le degré de $, en a,, a.,, . . ., fl„ est X, le poids de chacun des 

 termes ra + 5J3 4- /A + . . . -I- «a> est égal à À. Ce nombre X est nommé 

 le poids de la fonction symétrique sy. 



Nous allons démontrer qu'on peut déterminer non seulement les termes 

 de Sx, mais aussi les coefficients. 



On connaît la formule suivante : 



si-=— a|.çx_i— «2*),-2 — . . .— o, .<;)._, — . . .— «)_,*, — }.«),, 



«1 = — rtl, 



,?„ =: a; — ia., 



.s),= cafa^a] . . . o" + . . . . 



Un voit tout (l'abord que le signe du coefficient c est positif quand la 

 somme a + j3 ■+• y h- . . . +cu, c'est-à-dire le nombre des facteurs en 

 a^af a] . ■ . a" est pair; le signe de r est négatif quand ce nombre est im- 

 pair. 



.l'appelle cette loi lu loi de signe. 



On prouve cette loi aisément par la formule (i). Si cette loi est vraie pour 

 les cas 5,, ^o, ..., .vx_,, elle doit être aussi vraie, d'après la formule (i) 

 pour j) ; mais si elle est vraie pour s,, 5j, elle est donc généralement vraie. 



.le désigne la valeur absolue du coefficient du terme a'^a'faj . . . «" de la 

 manière suivante : 



On prouve facilement par la formule (i) : 



J'appelle cette loi ta loi de réduction. 



D'après la loi de réduction, on peut calculer aisément la valeur absolue 

 des coefficients des termes de ^x- 

 On trouve : 



(5) 



- ' " 2 2 



(fl*«ja,«„) = (a 4- i) (a + 2)(/-a + s + l + v) — (ce. -h i) (a-h i)l, 



i„o.„i„\ _ («-H)(at -t-2)(/-gt- t-2.y-K) (a-n)(ot -h 1)1 _ 

 (a^a^a,) _ _. , 



