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J'écris, par exemple, presque sans calcul : 



— i4«J«i + 21 aja.j'ïs — i4«i «2«4 

 -t-7«iaj 

 — 7«i«3- 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur les mouvements permanents stables. 

 Note de M. C. Popovici, présentée par M. H. Poincaré. 



L'importance que ces mouvements ont dans la Mécanique céleste rend 

 toujours d'actualité leur étude. M. Poincaré et M. Liapounoffont montré (') 

 dans quelle circonstance le système (*) 



(1) -^ =la'i,Xk-^(f{{Xi, ..., a:,, )+... + t?^;{^i, ...,^„)-H. .. 



représente des mouvements stables en ce sens, que la branche de trajectoire 

 qui correspond pour / ^ -h co reste dans le voisinage de l'origine, lorsque 

 par les conditions initiales le mobile en est assez rapproché. 



Dans cette Note je désire apporter quelques remarques en ce qui concerne 

 le caractère de la stabilité de ces mouvements permanents. Le voisinage de 

 l'origine peut bien représenter une position d'équilibre géométrique, sans 

 être une position d'équilibre cinématique; c'est-à-dire le mobile pourrait 

 s'approcher de l'origine en parcourant un arc infini. Or, lorsque la molé- 

 cule dun fluide enfermé dans un vase ne décrit pas une trajectoire fermée 

 périodique (ou remplissant un espace avec tendance de périodicité), elle 

 s'approche d'un foyer; mais ces foyers peuvent être de deux genres suivant 

 le caractère de convergence des solutions du système (1) et nous allons 

 exaniinci' diuis chaque cas si l'équilibre cinématique existe. 



Premier cas. — Les trajectoires [ou seulcinenl la trajectoire (') qui 



(') Voir Journal de Liouville^ i88a, i885 et 1897; Annales de la Faculté de 

 Toulouse, 1907. l>;iiis une Note ( Cow/?<e.ï rendus, \u\n iyo8) j'ai considéié le cas omis 

 par M. Liapoiinoir el qui correspond aux fluides lncompres>ibies. 



(-) On sait que des systèmes de celle forme se présentent dans oerlains cas parti- 

 culiers dans la théorie de la Lune ainsi que dans celle de rallraclion d'une masse lluide 

 sur un point intérieur; les fonctions 9 jouent le rôle de fonctions perturbatrices. 



(•'') On sait que, lorsque toutes les racines X,- de l'équation caractéristique du déter- 

 minaiil des coeffiiùenls a, sont d'un côté d'une droite passant par O, toutes les trajec- 

 toires sont développables; dans le cas contraire, il existe un polyèdre dont le sommet 

 est à l'origine et qui sépare l'espace en deux régions de stabilité et instabilité. 



