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qui sont très sensiblement des cercles de rayon \ a et tels que 



(7) ^ =-C„/-^'' (■ + '■/')• 



Lorsque r„ est 1res petit, le mobile décrit cliaque tour de spirale avec une 

 période -^ +/•/]. Cbaqiie tour i d'une telle spirale sera plus grand que 



2- y «, où va< est le rayon vecteur obtenu quand le tour est achevé. D'autre 

 part, l'équation (7) donne les suivantes : 



ui reste sensiblement 



(8) «,-^«,_,- /.=«;' ,. 

 Désignant par Â-- l'expression C" -^' -(- r(r^ + h) 



I = ac 



la même. I^a longueur de l'arc 27: 7 \ a, sera infinie, si je peux prouver 



; — 



qu'une série 'La'^ est divergente (/>>-)• 



Or les équations (8) donnent, en les multipliant, 



(9) ^l{i-l^'a-r)...(^-l.'aU). 



La quantité positive «, doit tendre vers zéro, en vertu de l'équation (7), 

 puisqu'elle décroît, et l'hypothèse qu'elle tendrait vers une limite a est 



inadmissible, car -j- au lieu de s'annuler serait alors négatif el fini. 



Donc le produit qui figure dans l'inégalité (9) doit avoir pour limite zéro, 

 ce qui exige que la série a" ' + . . . + rt" ' -1- . . . est divergente; donc l'arc 

 est infini. 



Nous pouvons constater que la série Ir/" est convergente. En effet, ajou- 

 tons les équations ('8), on a 



la limite supérieure de la série sera p- On peut ainsi trouver que la lon- 

 gueur dey; tours de spirale est de l'ordre de grandeur de la quantité 



^la„\^^ + {n-^)a'rlr-p ■■'lJ^^^ ]^. 



