62 ■ ACADÉMIE DES SCIENCES. 



tion (2) esl donnée par la formule 



On a A = I — l\~\^i et, ne supposant pas A réel et néj^alif, on prend la 

 détermination de v^X, pour laquelle la partie réelle est positive. En tant que 

 fonction du paramètre A, la fonction m, définie par (3), est holomorphe 

 dans le plan de la variable X, sur lequel on a tracé une coupure formée par 

 la partie négative de Taxe réel. 



3. Cette coupure peut être une coupure nalurelle ou artificielle, suivant 

 la fonction donnée /"(^) que nous supposons toujours i)ornée et continue 

 de — ce à -h ce. Nous allons en donner des exemples. Ainsi, soit 



la série i^|A„| étant convergente, et les A„ étant des quantités positives 

 croissant indéfiniment avec n. On aura 



./(x) = iA„i±4^cos(/,„,0. 



A -t- Il ji 



La fonction i/de A esl méromorphe dans tout le plan, comme il arrive pour 

 l'équation régulière de Fredholm. Les pôles A = — /j|;sont réels et négatifs. 



4. Prenons maintenant 



/(j)— / o{h) coi {h. v)dli, 

 en supposant que l'intégrale 



I y. 



I I '-(/') 1'//' 

 ait un sens. On aura, pour u{x), la valeur 



« { * ) r^ / ;^ — — — o 1 /( ) cos ( /i ,i- ) (/h . 



Si la fonction continue 9(A), définie de o à ^o, est une fonction non analy- 

 tique, la fonction u, regardée comme fonction de A, admettra, comme cou- 

 pure essentielle, la |)artie négative de Taxe réel dans le plan de A. 



