SÉANCE DU 9 JANVIKR 191 I . 76 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une formule d'inlerpolation établie 

 en vue des applications pratiques. Note (') de M. Le Fort, présentée 

 par M. H. Poincaré. 



La formule d'inlerpolation de Newton est basée sur le recours aux 

 éléments du Tableau des différences des valeurs que prend une fonction 

 donnée )' pour des valeurs de la variable .r en progression arithmétique. 

 Dans le Tableau des différences utilisé, on a 



Dans la pratique de l'interpolation, on ne forme pas entièrement le 

 Taideau des différences correspondant à toutes les valeurs considérées de la 

 fonction, mais on s'arrête aux différences d'un certain ordre, «, con- 

 servant les (n-i-i) premiers termes de la formule; autrement dit, pour 

 Xp<C.■^<i'i^|l+^ ^^p + t', on tient compte de (n+ i) valeurs de la fonction, 

 correspondant aux valeurs x^,, a-p-hr, . . ., Xp-h(n— i) r de la variable. 

 Si maintenant on écrit les valeurs de x et y en ordre inverse et procède de 

 nouveau à l'interpolation dans l'intervalle (x^-h r, Xi,), la formule de 

 Newton tiendra compte des valeurs de la fonction correspondant aux 

 valeurs .r^, + r, a:"^,, x^ — r, . . ., .t-^, — (n — i) /• de a*. Cette formule donne 

 donc des résultats différents, lorsqu'on n'écrit pas le Tableau entier des 

 différences, suivant que l'on attaque par une extrémité ou par l'autre les 

 suites de valeurs correspondantes dex ei j. Nous allons donner une formule 

 qui ne présente pas cet inconvénient (susceptible parfois d'une certaine 

 gravité) et qui peut être instantanément reconstituée. 



Adoptons pour la formation du Tableau des différences la notation 



A/.r,,= AA_,/^ 1— A/,_,j_,, 



2 i 



c'est-à-dire 



p 



^V fp ='^v-ir,_i--^2y- 



)' 



/'- 



/ et p étant des nombres entiers; nous formerons ainsi, en quinconce, des 

 Tableaux de différences en forme de triangle isoscèle. 



(') Présenlée dans la séance du ■?.- décembre 1910. 



