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Si nous prenons les suiles des x et y en sens inverse, les mêmes quanlilés 

 se retroiivenl symélriquement, avec changoment de signe, toutefois, pour 

 les différences d'ordre impair. 



Pour interpoler dans un intervalle (;r^,, ^7,+ , ), nous considérerons les 

 seules différences d'ordre pair (indépendantes du sens de présentation du 

 Tableau) des lignes de rangs p el(f) + 1), c'est-à-dire les A-.jVp et A.,,- r^,+,, 

 avec o~ j 11— i(A„ V,, = V,, ), pour opérer sur in éléments, tenant ainsi 

 comptede 2/?. valeurs de j,V/, — «r, }'/, — (» — i)r, •.., v,,, r/,^.|, ...y|,+ ^-\-nr. 

 (Il serait évidemment peu logique de tenir compte d'un nombre impair do 

 valeurs de la fonction; la forme du Tableau indiquée le fait ressortir.) Nous 

 réaliserons l'interpolation à l'aide d'un polynôme en x, de degré {in — i), 

 linéaire par rapport au\ A, somme de in éléments dont chacun sera le 

 produit de l'un des A par un polynôme en œ de degré (2/? — i) au plus. Le 

 coefficient Aj^j^ est le même que si les (a» — i) autres A étaient nuls : c'est 

 un polynôme dont tous les A^aJ,, et \.,,,Y,,+t sont nuls pour k > /, de degré 

 {1/ + i)par conséquent, et dont le Tableau des différences s'établit par 

 reconstitution ascendante, en parlant des deux lignes de rangs p et 

 (p+i). 



Le coefficient de Anj-jp, de degré (ij + i), devant être égal à i pour la 

 valeur a-^, — yVde a? et égal à zéro pour les (ay 4- i) valeurs œ^, — (J — i)r, ..., 

 'i-p, ^,H-,, ■■■, •*•/«., +//•, ou (■'Tp.^-jr) à (a-,,^, +yrj, s'écrit évidemment 



_ (a: — -f-y.+i +.//•) (■>-• — -rp-n -hj'—ir) ... (.f — .fp^, — ./>) _ 



on établit de même la forme du terme en Ao/ V/,+,, et l'on obtient la formule 

 très symétrique 



_ -y Ai/JVti C-^ — ■y,.+./>)(a' — ■^^+./ — ' ') ■■• (■'" — ■^ /.—./>) 

 ^~ J^ /-V+i l.'i. ..(a/-r i) 



() 



n—i . , 



_V' Aayjp {X — ..Cp+i +y/-) ( J.- — j-p+i +7 — I /•)■■■ (.g — ■Tp.n— yr) ^ 

 Zd r^j-^^ I .■>...{ 2./ -t- I ) 



u 



les termes correspondant ày=:os'écrivant:^-^ (/r — Xj) et — -—i^ix — .rp.^.^). 



On reconnaît de suite que la formule n'est pas altérée lorsqu'on prend en 

 sens inverse les suites des x et j', l'échange se faisant entre les indices p 

 et {p + i), et /• := Xi^f — Xj, changeant de signe. 



On peut donner à cette formule diverses formes; notamment si l'on 



