SÉANCE DU l6 JANVIli:R 1911. I2T 



Cl décrit un réseau dont une tangente est isotrope. On voit facilement qu'on 

 obtient par cette méthode tous les réseaux qui possèdent cette propriété. Le 

 point de l'espace à trois dimensions qui a pour coordonnées Y,, Y.,, \, décrit 

 un réseau d'une surface des centres, ïY, est le rayon de courbure corres- 

 pondant. On a donc le résultat suivant : 



La rec/ierc/te des surfaces telles (/n'entre les coordonnées \ ,,Y.,,\ ^ d'un point 

 d\me nappe de la sur/ace des centres et le rayon de courbure correspondant p 

 existe une relation du deuxième degré se ramène, à une quadrature prés, à la 

 recherche des géodésiques d'une (fuadrique. 



M. Darboux a déjà étudié les surfaces telles qu'il existe une relation 

 entre Y,, Y„, Y3,p. 



Si maintenant on effectue sur la surface (M) la transformation homogra- 

 pliique (3), la congrucnce MR se transforme en une congrucnce de nor- 

 males M'R', le réseau D en un réseau D' harmonique à M'R'. On pourra donc 

 trouver une déformée de D'. En particulier, si V est une constante, D' décrit 

 une quadriijue; donc, quand on connaît une surface de Liouville, on peut en 

 déduire des déformées particulières de quadriques. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Remarque sur la Vommunication 

 de M. Guichard. Note de M. Gastox ï>arboux. 



Dans la Note qu'on vient de lire, M. (îuichard énonce, entre autres 

 résultats intéressants, le suivant : 



La recherche des surfaces telles qu'entre les coordonnées de l'un des centres de 

 courbure principaux et le rayon de courbure correspondant existe une relation 

 quelconque du deuxième degré se ramène, à une quadrature près, à la détermi- 

 nation des géodésiques d'une quadrique. 



Cette belle proposition a ramené mon attention sur une théorie que j'avais 

 développée en 187G dans mon Mémoire sur les solutions singulières des 

 équations aux déri^'ées partielles du premier ordre ( Mémoires des Savants 

 étrangers, t. XXVII, n° 2). J'y montre, comme conséquence d'une théorie 

 générale, que si l'on veut obtenir toutes les surfaces jJour lesquelles il y a 

 une relation donnée 



(0 /(«, (3, y,R) = 0, 



