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entre les coordonnées a, [i, y du ccnlre de courijure et le rayon de 

 courbure R correspondant, on sera conduit à intégrer une équation aux 

 dérivées partielles, qui sera du premier ordre seulement, et non du second 

 ordre comme pourrait le faire supposer un examen superliciel de la 

 question. 



Cette équation aux dérivées partielles du premier ordre dont on fait 

 dépendre la solution du pi'oblème peut même revêtir une forme élégante, 

 si l'on raisonne comme il suit. 



Il est clair (jue la surface cherchée serait pleinement déterminée si l'on 

 connaissait une seconde relation 



(2) »(«, p, y, R) = o 



entre les coordonnées a, [i, y et le ra\on U. Car il suflîrait alors de prendre 

 l'enveloppe de la sphère définie par l'équation 



{X -af- + {y- r3)-+ {z - yf- R^= o, 



où a, [i, Y, R seraient liés par les équations (i) et (2). Or j'ai donné 

 l'équation du premier ordre à laquelle doit satisfaire la fonction 9. On peut 

 l'écrire sous la forme très symétrique 



^^ \dc^ do^"^ ()[i <)^ "^ ày ôy dW Ô\K ) 



= W)- m- ^-m\ m -m- m- m} 



D'après cela, supposons qu'on connaisse, dans l'espace à quatre dimensions 

 engendré par le point de coordonnées a, [i, y, K V— i ) un système orthogonal 

 dont l'une des quatre familles comprenne la surface définie par l'équation (i). 

 Soit 



(4) fJa'--\' d^'+c/f-dR'-^lPc/p'--+- UU¥l + H' ''9i + "3 ''P' 



la formule (jui donne l'élément lin(''aire de l'espace dans ce système qua- 

 druple. 



Puisque la surface représentée par l'équation (1) fait partie d'une 

 des familles qui composent le système, on pourra toujours supposer que son 

 équation en coordonnées curvilignes soit 



(5) P;,= C011Sl., 



et alors l'équation (3), où l'on pourra supposer 



(6) ®Z=#(p.p,,p2), 



