SÉANCE DU l(S JANVIER I911. 123 



prendra la forme très simple 



' Oo\- I / d'i>\^ I /do' 



(7) ïp(^)'^Tr|l;?^) + Hi(,^' =°- 



Les applications de ce résultat général sont nombreuses. Supposons 

 d'abord, comme M. Guichard, que la relation (1) entre a, j3, y, R soit la 

 plus générale du second degré. On sait que, dans tout espace à n dimensions, 

 une surface du deuxième degré fait partie d'un système complètement ortho- 

 gonal et qu'en particulier, dans un espace à quatre dimensions, on a pour 

 les H,- les valeurs suivantes : 



J\P' ) 



où /(p/) désigne ua polynôme du quatrième degré. L'équation (7) de- 

 viendra donc ici 



^^^ (p-p,)(p-p-2)(p-p.)Up/ 



(pi— P)(pl — P2MP1 — P:i.l V'pJ (p2— P){p2— pl)<,p-2— ps) V^P'J 



et elle s'intégrera sans difficulté, car on pourra en écrire à vue une inté- 

 grale complète 



(.0) 



V i\ /(Ap,-|- B)(p,— p:,) 



A et B désignant deux constantes qu'il faudra joindre à celle qui est introduite 

 par les quadratures. 



Il n'y aura rien à changera cette théorie, si l'on suppose que a, [5, y, R, au 

 lieu d'être liés par une relation du deuxième degré, le soient par l'équation 

 beaucoup plus générale 



où M, et 11^ désignent des polynômes qui sont respectivement du premier et 

 du deuxième degré en a, p, y, R. 



On sait, en effet, que les surfaces définies par l'équation (i i ) font partie 

 d'un système quadruple orthogonal, analogue à celui qui est formé par les 

 cyclides dans l'espace à trois dimensions. Et l'on pourra garder la for- 

 mule (10), sauf à y supposer que /(p,) est, cette fois, un polynôme, non du 

 quatrième, mais du sixième degré. 



