SÉANCE DU l6 JANVIER I911. 123 



mais en tout cas elle peut être considérée comme un symbole représentatif 

 de la suite infinie de ses coefficients. 



Les théories de Vaddition, de la soustraction, de la multiplication s'y 

 appliquent immédiatement. 



Nous appellerons module d'une série Y,a„x" la valeur absolue de a„. 



Nous appellerons rang d'une série l'indice de son premier coefficient 

 non nul, de sorte qu'une série de rang > o a un module = o et récipro- 

 quement. 



Le module d'un produit est égal au produit des modules, et le rang à la 

 somme des rangs des facteurs. 



Le rapport de deux séries intégro-entières est une série entière dont les 

 coefficients sont en général fractionnaires. Ce rapport n'existe d'ailleurs 

 pas si le rang du dénominateur est supérieur à celui du numérateur. 



Nous dirons qu'une série intègro-entière est divisible par une autre 

 lorsque le rapport de la première à la seconde a tous ses coefficients entiers. 

 Cela arrive en particulier lorsque le module de la série diviseur est égal à i. 

 Une série dont le module est égal à i divise donc toute autre série. Nous 

 dirons que c'est une série unité. 



Deux séries qui ne diffèrent que par un facteur unité seront dites asso- 

 ciées. Elles ont le même module. 



Parmi toutes les associées d'une série il y en a une et une seule dont tous 

 les coefficients sont >o et plus petits que le module. Nous l'appellerons 

 réduite. 



Il existe une opération analogue à la division avec reste. 



Étant données Ila„a-" et l/>„r", on peut déterminer et d'une seule façon 

 une série S^„ic" telle que ^ùa^x" ~ {I^b„x"){Lq„x") ait tous ses coefficients 

 positifs ou nuls et plus petits que le module de I-b^x". 



Cela conduit à un algorithme identique à celui du plus grand commun 

 diviseur de deux nombres entiers. Seulement il peut arriver que dans le 

 courant du calcul, on soit conduit à un reste dont le module soit nul sans 

 qu'il soit nul lui-même. Il est facile de démontrer que l'on peut supprimer 

 la puissance de a? qui est en facteur dans ce reste, sans changer les diviseurs 

 communs aux deux séries proposées; mais cette circonstance modifie cer- 

 tains résultats ultérieurs. Finalement l'algorithme conduit à un diviseur 

 commun aux deux séries et qui est tel que tout commun diviseur aux deux 

 séries soit un diviseur de celui-là. On l'appellera le plus grand commun 

 diviseur. 



Mais étant données deux séries A et B, de plus grand commun divi- 



C. R., 1911, I" Semestre. (T. 152, N« 3.) '7 



