126 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



seiir D. on ne peut pas toujours trouver deux séries U el V telles que 

 AU + BV = D; on peut seulement trouver deux séries U et Y et un 

 entier a>o, tel que AU -4- BV = x^D. 



La plus petite valeur possible de a sera dite le rang de jonction de A et B. 



Si deux séries identiques 2a„.r" et 'Lb„x'^ ont des modules a„, io pre- 

 miers entre eux, elles sont premières entre elles et leur rang de jonction 

 est zéro. 



Si «„ et hf, ne sont pas premiers entre eux, soit d leur plus grand commun 



diviseur; si ' " — î— ° cl d sont premiers entre eux, les séries sont premières 



entre elles et leur rang de jonction est i. 



On peut ainsi énoncer un théorème général. 



Dans toutes ces questions de divisibilité, des séries associées sont consi- 

 dérées comme identiques. 



L'étude de la forme AX -f- BY, A et B étant des séries données, X et Y 

 des séries variables, se ramène au cas où A et B sont premières entre elles. 

 Dans ce cas, si le rang de jonction de A et B est zéro, la forme peut repré- 

 senter n'importe (juellc série, c'est-à-dire qu'elle est équivalente à la 

 forme X (résultat analogue à celui connu pour les nombres entiers). Mais 

 si le rang de jonction de A et B n'est pas nul, cela n'est plus vrai; on peut 

 seulement donner à AX -f- BY une forme réduite, à savoir cFS^-^xY si 

 le rang de jonction est i (r/ étant un entier 7^ i); 



{(le -^ fœ)\ -\- exY -^ j:-7i (rf, p,/ entiers, ep£]) 



si le rang de jonction est 2, etc. 



On étudiera d'une façon analogue les formes linéaires à plus de deux 

 variables. 



Toute série qui n'a d'autre diviseur que ses associées et les unités sera 

 dite première. 



Toute série est décomposable, d'une seule façon, en facteurs premiers. 



Lorsque le module d'une série est un nombre premier, cette série est 

 première. 



Lorsque le module d'une série est un nombre composé de plusieurs 

 facteurs premiers différents, cette série se décompose en plusieurs fac- 

 teurs. 



Enfin, lorsque le module d'une série est une puissance d'un seul facteur 

 premier, il peut arriver ou que la série soit première, ou qu'elle ne le soit 

 pas, cela dépend de ses autres coefficients. 



