SÉANCE DU 23 JANVIER I9II. 



involulion, ce système canonique (2) ne conlienl que -iii + i- 

 lions indépendantes, complètement intégrables. 



1. Les formules de la transformation de Pfaff des 2/1 + 1 — 

 riables x, ^, /j, après laquelle l'expression dz — p^dx\ — . . . — p,^clx„, 

 où F,(a^, z^p) — Ci {i—\, 2, ..., rn) ne contient /?? des nouvelles va- 

 riables, par exemple, r,, . . . , J„, que dans le multiplicatenr commun 

 [j(.(j'i, . . . , yo„^_|_,„) de ses coefficients, satisfont au système canonique (2), 

 où 



Fi{jS,Z,p)=Ci (/=l,2, ...,7H), 



dans la supposition que y,„+t, ■ ■ ■,y-2u+t-m soient constantes. 



On obtient l'équation différentielle pour a en ajoutant au système (a) 



d'éléments encore une ligne : da, — pi -^ ,•••, — u. '-jr (')• '^' V-Jk^i ^'iP) = ^ ' 

 est l'intégrale déterminant [x, il est aisé de voir que 



(/,F,)-/^'=o {/ = l,9, ...,w). ■ 



Nous appellerons la foneliou satisfaisant à ces dernières équations le 

 tnultiplicatcur de Pfaff du système canonique (2). L'expression la plus 

 générale du multiplicateur de Pfaff naX. f{x, z^ p)o{¥ ^, ■ . ., Fo„n.,„), où 

 Fj= Cj (j = I, 2, . . ., 2// -h I —m) est le système d'intégrales du système 

 canonique (2), et o la fonction arbitraire. Comme les fonctions (F^, F^) 

 (s, t = m ~\- i, ..., 2/2-t-i — /«) sont ces multiplicateurs, les équations 



^ ';"_ '' = r,,, ainsi que ( /, F, ) — /''-y:^ = P,, sont les intégrales du sys- 



tème (2); c'est la généralisation du tliéorème connu de Poisson. 



2. Parmi les é(juations du système canonique (2), il y a en paiticulier 



(3) dz — pidjci — ... — p„dx„^=o. 



Il peut ariiver qu'un système non complet d'intégrales du système cano- 

 nique (2), F^(^r, z,p) = Cj (/ = I, 2, ..., /d -H /•; n'^n -\- r <^ -2 n -\- \ — /«), 

 satisfasse avec une autre équation F„+,.^.| (r, j,yo ) = C„^_r+| à ( '5 ), de sorte 

 que p(dz - p,dx,—...- p„dx„)=:d¥„^,.+ > - P. «?F, - . . . - P„^,.f/F„+,.. 

 On voit aisément que F„+,.+, = C„^,^+, est de même une intégrale du sys- 

 tème (2 ). Les intégrales manquantes, s'il y en a, s'obtiennent à l'aide de 

 différentiations et d'éliminations. En effet, il suit des formules (a) de la 



( ' ) C. RussYAN, Die Pfaffsche Méthode der Intégration der parliellen Differen- 

 lialgleichtingcn I O. Z«eite iMittlieiluiig {Bull, de l'Ac. des Se. de Cracoi'ie, igoS). 



