I7() ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Irarisfoiination de conlacl généralisées (') en veilu des relations 



(F,, F,) — o {i=zi,2, ...,/«; 5 = 1, 2, ...,« + z+i), 



que 



(F,, l',„+() = o {t = 1,1, . . .. n + r — i)i). 



Il y a toujours parmi ces iiilégralcs 1\= ( ]^( i' = i , 2, . . ., « + r -h i), 

 P,,,^., = r„,+;(/ = 1 , 2, ...,/<-+-/■ — m) du système canoniquc(2), 2« -f- 1 — /n 

 indépendantes et connue, les fonctions F,, ..., F„+r+., étant connues, les 

 fonctions P,, . .,1',,+,, p s'obtieiuient par des dilîérenlialions et des élimi- 

 nations, le théorème énoncé est démontré. C'est la généralisation d'un 

 théorème de S. Lie (M. A/in., t. XI, p. 3). Le système d'équations des 

 caractéristiques (Ju système en involulion I\( x, :;, /; )^ C, ( /= 1,2, .. ., w) 

 étant déterminé, son intégrale complète s'obtient par des éliminations. 



3. On a donc la généralisation d'un autre théorème de S. Lie {/oc. cit., 

 théorème I) : « Si l'on a un système de n + /• (n'^n -h /' <C -'' + i — "<) 

 intégrales du système canonique (2) de la propriété indiquée, la détermi- 

 nation de lintègrale complète du système en involution 



F,(,r, :,/;) = C,- (i=:i,i, ...,m) 



n'exige que des dllférenlialions et des élimitialions ». Si, en [tarlicul ier, 

 n -\- r -h i = n -h i, de soi- te que 



( i) ?{'/- — 1>\ i/ii~. ■ ■ —/'„'/■(■,,) —>/\'„, I— l'i ''l'i -• .— I'« '/!''« ■ 



il s'ensuit que 



! ( •■ .<■ '■"/) — o {s, l — i,2, ...,n -h 1), 



, c- , 1 \ O (.S ^ m + t . 



(5) (F l'„,,,) = pP,„,„ (F,.P,„^,)= -^ 



i ( p {.1 = m +0 



\ ( .s =r r . 2 ,...,/;;<-— t , ? /( — m ). 



et inversement. Le système d'intégrales du système canoniipie (2), jouis- 

 sant de la propriété (S), s'appelle canonique. On peut l'ohlenirà l'aide, par 

 exemple, du théorème généralisé de Poisson. Si, par exeuqile, 



()( F.. ...,V,„) ^^ 

 <J( fh- ■ ■ ■,/>,.,) "" 



(') Comptes re/idus, lyio, n" :i. Ces formules soiil la ijéiioralisalioii du lliéoiènie 

 de M. \N . Slck\i)([ (Coi/iplex renr/n.s, 1909, n" 3), qui 11 \i éié nulle part déuionlK' par 

 S. Lie. 



