SÉANCE DU 23 JANVlliR 1911. 177 



I 



et si 



( .ç = 1 , 2 . . . ., Il ~ m; < =r 1 , 2 , ...,/(). 

 [xp {x,z,p) =■ ao est le système principal d'intégrales du système canonique (2) 

 relatif au point x\ . . ., .r"„, de sorte que , , '' "" "' 7^ o, on a, d'après le 

 théorème mentionné, 



(X„,^,, X„,,,) =r o, (Z, X,,,,,) = o. (Z, f',) = p l'„ 

 l o (s=^ 0- 

 I p (5 = 0. 



Or 



et 



(i, ^ = 1, 2, .. .,n — m- i = i.2, ..., 71 ;_/■ = !, 2, . .., wi)- 



F,{^,-^ />) = ?,(./■», ...,.r»,, X,„+,, ...,P„) (/=:i.2. ...,m) 



On peut donc substituer au\ intégrales Pj — p" (j = i, 2, .... /«) celles 

 F,(.r, r., ^) = C, (t = I, 2, . . ., m) et l'on obtient le système canonique d'in- 

 léij;rales. Hn vertu de la relation Ci) on déduit tous les systèmes canoniques 

 (riulégrales de l'un d'eux à l'aide de toutes les Irausformalions de contact 

 qui laissent F,, . . ., F,„ invariants. 



'1. On peut généraliser un problème de S. Lie {/<>c. cit., ^ ',i) et le 

 résoudre à l'aide du théorème généralisé de S. Lie (llu'orènie F, loc. cif.), 

 ou à l'aide de la théorie des caractéristiques. 



Ce problème généralisé est : 



Étant donnée une série de solutions F, , . . ., F^, ( /v ) du système linéaire com- 

 plet ( F,,F)=:o(i r= I, 2, . . . , m) et le mnlliplicateur de Pfaff f(x,z, p) corres- 

 pondant, les utiliser pour l'intégration du système en imolution F,(.r, z,p) = C, 

 {i= 1,-1,..., ni). 



(louime "' ^ , (/, F^)— /^ sont des solutions du sNSlème linéaire, on 



en adjoint les nouvelles solutions à la série {b) et en procédant de cette 

 manière on parvient à la série F,, . . ., F,, (c) telle que ce procédé ne donne 

 aucune nouvelle solution, c'csl-à-dirc à un groupe. Cherchons les fonc- 



lions Q des F, , . . . , F, telles que ( F,, ) = o Çv = i , 2, . . . , r), (/, il) —f-jr — » 

 (fonctions « distinguées » du groupe). Ce système est complet, car 



[1-;<(I^.Q)] - [F,(I^O)] =- ^{F,£>) + ^ (F,P.)+/(F«0) + f„|^(/0) -/-gj, 



