178 



où 

 et 



où 



ACADÉMIE DES SCIENCES. 



(F,,F,)=/.Fo< 



F,„ (/0)_/^J _ L/:,(F.i2)] +/^(F,i>) = (iiFp) + f_ (12F/), 



Fp=(/F..)-/^- 



Le nombre des fonclioiiï; dislinguées est égal k r -\- i — q, où q est le plus 

 haut degré des déterminants différenls de zéro du système d'éléments ('), 



( ■' in->rii ^ /it-i-] , 



(/F,„^,)-/- 



( l' H/ + 1 ) '' f , 



(/F,.)-/§' 



(£ = i, 2, . . ., 1— m). 



Dès ce moment, le procédé pour utiliser ces fonctions et achever l'intégra- 

 tion du système en involution F,(.x-, ^, p) — C; (« = i, 2, . . .,rn) est tout 



à fait analogue de celui de S. Lie pour le cas 



dF, 



o (i — 1,-2, .. .,7?ï) 



(loc. cit. § 3). Avant trouvé enlin le système de caractéristiques du 

 système hnal en involution 



(6) F,— C„ 9.,„^s^Vm+s (« = 1,2, ..../«; .s = i, 2, ••-,/' -'»), 



on trouve l'intégrale complète du système V i{x^z,p) = Ci (1 = i, 2, ..., w), 

 sans nouvelles intégrations ou à l'aide du théorème généralisé de S. Lie, ou 

 en déterminant directement l'intégrale complète du système (0) qui est 

 en même temps celle du système en involution donnée. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les dérivées des fonctions des lignes planes. 

 Note de M. Paul Lévv, présentée par M. Lmile l'icard. 



La variation d'une fonction de lignes peut, dans des cas étendus, se re- 

 présenter par une intégrale de la forme 



(1) ôcp= / P{.v) onds. 



•'c 



Il n'en est pas de même de celle de P(î), qui sera en général de la forme 



(2) oP(s).= I K(.v, s,)on,ds,-+- \o{s)dn 4- A, (5) 5// + . . . + A,,(.0 -î/i"". 



(') 11 y a (Jeux cas selon que </ esl pair ou iu)|)aii' (voir S. Lu:, /oc. cit., p. ^S-, 

 lliéoréine l\ ). 



