SÉANCE DU 2,3 JANVIER I9IT. I79 



Les fonctions A sont liées par des relations ('), d'où il résulte que p doit 

 être pair; l'ordre de conlinuilé de la fonction P est donc pair. Les fonctions 

 A„, A,, . . . , A/, peuvent être choisies arbitrairement, et les relations en 

 question déterminent A,, A3, . . . , A^,_,. 



Du fait que/; soit pair résulte une condition nécessaire d'intég;rahilité des 

 équations intégro-différentielles dupremier ordre. Supposons que l'angle 

 que fait avec une droite fixe la tangente en M à la courbe c figure dans une 

 telle équation, ainsi que ses dérivées par rapport à l'arc*. Quelles que soient 

 les quantités qui interviennent d'autre part dans cette équation, les valeurs 

 des coefficients A qu'on en déduit ne dépendent que de la manière dont y 

 figurent 8 et ses dérivées. On voit alors aisément que, pour (jue l'équation 

 considérée soit complètement intégrable, il faut qu'elle contienne les dérivées 

 de () jitsquà un ordre impair. En particulier, si elle contient effectivement 0, 

 elle doit contenir aussi sa dérivée première, c'est-à-dire la courbure. 



Considérons l'équalion 



I ^„ ?K O" ^« 



que vérifie la fonction de Grcen g^. l'aile contient des dérivées prises nor- 

 malement au contour qui dépendent de 0, et ne contient pas la courbure; 

 elle n'est donc pas intégrable (*). Si l'on cherche les solutions de cette 

 équation qui soient des fonctions analytiques et régulières des points A et B, 

 on trouve d'une part des fonctions d'un des deux points, indépendantes de 

 l'autre et du contour, d'autre part des fonctions de a; -1- iy et de ,r, — t}', , 

 X, y, a;,, y, étant les coordonnées rectangulaires de A et B. Si l'on cherche 

 les solutions de la formera -^ ^ii ©b étant analytique et régulière, on trouve 

 que la dérivée de o prise le long du contour, lorsque l'un quelconque des 

 points A et B vient sur le contour, doit être nulle ; à cette restriction près, 

 on peut choisir arbitrairement les valeurs de -p pour un contour particulier. 

 L'équation aux variations de la fonction 'de Neumann y^ n'est pas non 

 plus intégrable, bien qu'elle contienne la courbure. Comme solutions 



régulières on trouve ' , , ; S, L, k désignant l'aire intérieure au contour. 



(') J. Hadamaru. Sur les dérivées (le>; fonctions de lignes (Bu II. de la Soc. math., 

 1902). Le résultat obtenu ici diffère de celui de M. Hadamard à cause de la significa- 

 tion dilTéreute des dérivées. 



(-) Une erreur de calcul m'avait fait énoncer antérieurement sur les fonctions de 

 Green et de Neumann quelques résultats inexacts qui sont rectifiés ici {Comptes 

 rendus, i" août et 28 novembre 1910). 



