SÈANCK DU 3> JANVIKK IglI. 245 



Pour tous les points de l'intervalle AB on a évidemment 



(3) R,(ic)>ÏÏs(.r)>...>R„(:r)>R„_^,{.r;)>..., 



(4) \A-r)— f„.{r)\^K(x) pour m = n, n -h , , . . . . 



Pour tous les points de convergence de la suite /,, /j, ...,/„, ... la 

 suite R,, Ro, . . ., R„, ... est aussi convergente, et l'on a, pour ces points, 

 lim H„(x) = o. 



L'ensemble E„ de points dont il est question est évidemment l'ensemble 

 de [)oints pour lesquels 



R„(x)3rlR„(x)-0|>£, 



et par conséquent la mesure \t-(Ti, i) de cet ensemble tend vers zéro lorsque 

 n croit indéfiniment. 



Soit maintenant £,, e^, £3, ..., £„, ..., une suite de nombres positifs 

 décroissants et tels que lim£„ = o; soit d'autre part 



(5) ri, + Yi2-+-n3H-. . . + Y]„ + . .. 



une série convergente à termes positifs. Considérons les ensembles E^'' de 

 points pour lesquels R„(a7)^£,- La mesure [t-Çn, £,) de l'ensemble tendant 

 vers zéro lorsque n croit indéfiniment, on pourra, pour chaque £,-, choisir 

 une valeur /î, telle que u.(/î,, £,) = in,. Considérons la suite d'ensembles E^'', 

 E;,*;, ..., E;^;', ... et l'ensemble somme E,- des ensembles E'^'., E'^^',', ... de 

 cette suite à partir d'une certaine valeur i de l'indice. La mesure de E, est 

 au plus égale à la somme de mesures 



(^ ( 'li, c, ) ■+- IX{ «,+,, £,+ 1 ) -f- . . . , 



et par conséquent est moindre que le reste y],-^, + Y],v2 -+-• . . de la série (5).— 

 En prenant i suffisamment grand on a un ensemble E,- de mesure y] aussi 

 petite qu'on veut. Pour tous les points de l'intervalle AB n'appartenant 

 pas à E, la suite /, , /j, . . . , /«, ... est uniformément convergente. On a en 

 effet pour ces points 



et, par conséquent, 



U'n— f\<Bi+P pour mlfii+p. 

 En prenant/» assez grand on pourra faire toutes les différences / — /„ à 



