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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de polynômes et les sin^ularilés 

 des fondions analytiques. Note de M. Paul Diexes, présentée par 

 M. Emile Picard. 



1. On sait que, étant donnée la série convergente 



les méthodes de MM. Miltag-Leffler et Painlevé permettent de former, à 

 l'aide des coefficients et des constantes numériques convenables, une série 

 de polynômes de sorte que l'égalité 



F(:»,,Xj, ...,a;„)=:^Qv(x,,a;j, ...,a7„,a) 



V = û 



ait lieu dans un domaine de convergence A'"* dont la limite pour a ^ o est 

 l'étoile principale A (ordinaire ou curviligne) de F(a;,,.irj, .. . ,^„) ('). 



Dans la plupart des formules proposées, la suite des représentations 

 conformes, qui fournit le mécanisme du développement, est donnée sous la 

 forme v =^ cp(«, a) où le paramètre a tend vers o, Œ'(o, a) = o, cp(i, a) = i 

 et, sauf le cas a == o, (p(M, a) est holomorphe pour « = i. Supposons, en 

 outre, pour simplifier nos résultats, que la courbe génératrice de l'étoile 

 curviligne soit holomorphe au point i , et introduisons les expressions : 

 voisinage angulaire et circulaire de z'^ vers /^°, définies de la manière sui- 

 vante : Soit /"" l'ensemble des courbes /^ ', /^', . . . , /'", déterminées dans leurs 

 plans respectifs par les points a;°^a;", . . . , a;° et par la courbe génératrice. 

 Traçons un angle d'ouverture inférieure à ti et symétrique à la tangente de 

 la courbe /'• au pointa;" et ne considérons que la partie de l'angle la plus 

 proche de x]. L'ensemble de ces domaines angulaires arbitrairement petits 

 forme, contours compris, le voisinage angulaire de z" vers l'°. Si, au lieu 

 d'un angle, on trace un cercle passant par xi et ayant pour diamètre arbi- 

 trairement petit la tangente à la courbe P'° au point x% l'ensemble des n 

 petits cercles ainsi obtenus sera nommé, y compris les circonférences, le 

 voisinage circulaire de z" vers l'° . 



(') Mittag-Lkffleii, IV" Noie, Acla matli., t. XXVI; Painlevé, Note dans les Leçons 

 de M. Borel sur les fonctions de variables réelles, el noire Noie du 25 juillet 1910. 



