SÉANCE DU l3 FÉVRIER I9ir. 363 



2. Cela posé, nous pouvons énoncer les théorèmes suivants : 



I. Si, pour a asse:: petit, la série de polynômes 



v = o 



converge au point s" : a;", . . . , r", la fonction F est continue et, z" excepté, 

 holomorphe au voisinage angulaire de z" vers l'° , c'est-à-dire qu'elle tend 

 vers une valeur bien déterminée, si l'on s'approche de z" en ce voisinage. 

 C'est la généralisation directe du théorème d'Abel. 



Inversement, « F(a;,, ...,x„) est continuel, z" excepté, holomorphe au voi- 

 sinage circulaire de z" versl^°, les moyennes arithmétiques , <ynÇv1,a;l, ...,ir°, a), 

 des 



convergent pour a assez petit. 



II. De même, si, pour % assez petit, la série reste bornée pour z", /a fonc- 

 tion F est bornée et, z" excepté, holomorphe au voisinage angulaire de ce point 

 vers t" et inversement, si la fonction est bornée et, :" excepté, holomorphe 

 au voisinage circulaire de z" vers /", la suite | a„ (.r°, . . ., a?„, a) | est bornée 

 pour OL assez petit. 



III. La condition nécessaire et su/disante pour que F(x,, .. ., \x„) soit 

 holomorphe au voisinage circulaire de z" vers /' (s' excepté) est que, pour a 

 assez petit, 



limsup v'|Q„(.i^, ...,07^,0!) 1 = 1. 



71= oo 



IV. La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction devienne 

 infinie (ne reste pas bornée) et, z" excepté, soit holomorphe au voisinage 

 circulaire de z" vers P', est que, pour a. assez petit, 



et que, quelque petit que soit a, 



limsup|(T„(:r;, . . .,a^°, «)|=oo. 



V. La condition nécessaire et suffisante pour que F(a7| , . . ,, a;„) ait une 



