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Va ^ < o, U" ,<o, sa/is diminuer la généralité de nos considérations. 

 Par conséquent, les équations (i) étant résolubles par rapport à />, , p.,, . .. , 

 Pç, il résulte des égalités (7) des nouvelles 



2à'àrj^\ \] )=0 (1 = 1,2, ...,f/), |-p-? = ,-Tô-^ (A=rl,3,...,2/( — 37). 



Les formules obtenues suffisent pour établir la théorie des caractéristiques., 

 en nous dispensant., en même temps., d'un calcul plus compliqué que celui qui 

 vient d'être indiqué. 



II. Il est aisé de démontrer que toute fonction, dont les dérivées complètes 

 par rapport aux cartables r,, x.,, .... a'^ s'annulent., moyennant les équa- 

 tions (5), présente une intégrale du système (2). On en conclut que les 

 fonctions 



p^) (/.=.......,■.« -3,) 



représentent sous une nouvelle forme les 9.n — -iq intégrales du système (2), les 

 parenthèses désignant le résultat d' élimination des constantes a, moyennant les 

 équations définissant les valeurs des cartables (4). 



III. Supposons, enfin, que le système (2) admet le groupe de « + p + i 

 intégrales distinctes 



(8) /,, j\, . ., /,/, /,/+,, ..., /,,+p-n (p<" — -y) 



possédant n — ^fonctions distingtiéisf^ , /!,, . . . , yj,, /y+| , . . . , y^, •!>, , $0, . . . , 

 *n-f p ( ' )• ^^* fonctions (8) forment donc le système complet de « + p -t- 1 

 intégrales distinctes du système normal, 



(9) [/l>/J = (t = 1,2. ...,/.), [*y,./']=0 (y = I,2, ...,«-p-/0. 



Par conséquent, égalant les intégrales (8) à des constantes a,, a., ..., 

 «y, a^^.,, . . ., a„+j;+|, dont les m — -iq -\- \ dernières sont arbitraires, sup- 

 posons qu'on en tire les valeurs des variables 



(10) 5, a'„_p^,, i''«-p+2) •••) ^ni Pli Pi' •••! Pn 



(') Les fondions distinguées du yroujjc (8) sont définies par la double condition, 

 d'être en involulion avec toutes les fonctions du groupe (8) et d'admettre sa Iransfor- 

 malion irifinilésirnale langentielle. 



