SÉANCE DU 20 FÉVRIER 1911. 4^9 



arcs de courbe AC, BD situés au-dessus de AB et ne se coupant pas (' ); on 

 trouve la solution régulière unique de 5z = o, prenant sur C des valeurs 

 données, par la résolution d'équations de Volterra de deuxième espèce. Le 

 même problème pour l'équation (i) se traite en remarquant que la fonc- 

 tion 



est solution de l'équation (i), S^ désignant le domaine limité par C et la 

 caractéristique d'ordonnée y. 



Pour que -r- et-r— j existent au point M(x,y), il suffit que /satisfasse, en 



outre de la condition d'intégrabilité, à l'un des groupes de conditions sui- 

 vantes, plus larges que celles qu'indique M. Lévi. 



a. y(^, Y)) est continue au point M et, si l'on considère les paraboles P 

 d'axe vertical et de sommet M, l'intégrale curviligne 



rV(£,-.)-/(-r.r)^^ 



prise le long de P est finie et déterminée pour les points N voisins de M» 



b. /(^, Y]) est continue en ? pour H = x dans le voisinage de M (-) et 

 l'intégrale 



X 



\fa,-n)-/U.r,)^^,^ 



y — v 

 est finie et déterminée. 



c. /{^, Y]) est continue en y] pour y] =y et l'intégrale 



est finie. Nous appellerons conditions (A) un quelconque de ces groupes. 



Comme dans le cas du potentiel (Petri.m, Journal de Liouville, 1909), on 

 peut étudier le symbole Sm en supposant simplement/ continue au sens des 



(') Leurs équations étant j: 1= X, (y), a; rr Xj(j'). on suppose Xj et X, satisfaisant 

 aux conditions de Lipschilz. 



(^) C'est-à-dire que, pour | x- — i; | <«, | v — tj ( <a, on a |/(^, fl) —f{x, rj) | <£, 



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