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ACADEMIE DES SCIENCES. 



conditions h ou c. Posons 



"5« = lini . 



h = a li=t, I fi 



au - , ^ au , 



-— .r + /;, V --T- .r, y) 



j[u(x. y + k) — ti{x, y)Y, 



on montre que S« existe et est égal à y si A est du second ordre par rapport 

 à h. 



2. La solution de Téquation (i), nulle sur C, est 



z{x.y) = ^ / l fil.,-n)g{l,ri\ x,y)dl(h, 



2 \/T. J Js 



g étant la fonction de Green. Soient alors les équations 



d-z dz , ()z 



(3) :tt:7 = «— + *— + ^--+-/' 



(4) 



d'-z dz ^ àz 



-r^ = "iî — 1" *"ï~ 

 c)>:' ax dy 



dz 



''^''^^''^■^^ 



a, b, c, y étant des fonctions de x, y\ la première se ramène à la seconde 

 par un changement de variables dans toute région du plan où b garde un 

 signe constant. Nous aurons la solution unique de (^^), prenant sur C des 

 valeurs données, par la résolution de l'équation intégro-différentielle 



(à) 3(.c, 7): 





q(:;,r,) " ^' — +- c(l, r,) ^('i.rn) 



rii,rr, X, Y)dldn 4- 4'(.r, y), 



<i^ étant la solution de os ^/"répondant aux conditions aux limites données. 



Il résulte de l'étude de "• et -7^ à l'intérieur de l'aire et au bord que, 



moyennant certaines hypothèses sur la continuité des données, la méthode 

 des approximations successives donne la solution en tout point de S ou 

 de C; on passe de là à l'équation (4) en supposant que a, r, y satisfassent 

 aux conditions (A). 



3. Une intégration par parties (cf., dans le cas elliptique, E. Picard, 

 Annales de P École Normale^ 1906) permet de ramener l'équation (5) à la 

 forme intégrale 



(6) z{x, y) = -^j'f \^M^^pl£ - c{l,n)g^ za. r.)cn dn + ^(x, y). 



On vérifie directement que la solution de (G) répond aux conditions aux 



