SÉANCE DU 20 FÉVRIER IQH- 43ï 



limites, et satisfait à Féquation à l'intérieur de l'aire. Cette seconde méthode 

 a l'avantage de n'exiger pour les données que la simple continuité en 

 général. Elle permet de démontrer que si une série de solutions dp l' équa- 

 tion (4) [ou (3)] converge uniformément sur G, elle converge uniformément 

 dans toute région intérieure à S, et y vérifie l' équation. 



Ajoutons également qu'on peut former la solution quand le contour 

 admet des tangentes horizontales ou que A et B coïncident. 



4. Soit encore le même problème aux limites pour l'équation 



/étant lipschitzienne en s,/j, et satisfaisant aux conditions (A) dans une 

 certaine région R du plan. La méthode des approximations successives 

 donnera, d'après les résultats du paragraphe 2, la solution unique dans une 

 bande horizontale dont la hauteur dépend des données et de la nature de/. 

 Soit enfin l'équation 



r = f{x, Y,z,p,>i). 



Si dans une région R,/ et ses dérivées par rapport k z, p, q sont continues, 

 la dérivée/^ restant positive, la solution prenant sur G des valeurs données 

 ne peut être qu'unique. Pour la calculer, nous mettrons l'équation sous la 

 forme os = ç(jr,j', :-,p^ q). La méthode des approximations successives 

 exigera ici l'existence, au bord même, des dérivées premières des termes de 

 la série. Une étude préalable de ces dérivées, et même de leurs accrois- 

 sements, sera donc nécessaire pour l'équation (1). Get examen, qui est 

 assez long, conduit à un certain nombre de conditions concernant le contour, 

 les données, les dérivées de f et la fonction !p déduite de/. Les approxima- 

 tions convergent dans une bande suffisamment étroite. 



5. Les résultats précédents s'étendent au cas de n variables. Je reviendrai 

 d'ailleurs sur ce point, ainsi que sur le détail des méthodes indiquées. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les applications géométriques de la formule de Stokes. 

 Note de xVL A. Buhi., présentée par M. P. Appell. 



M. G. Kœnigs paraît être le premier géomètre qui ait donné des 

 exemples de volumes ne dépendant que de contours; si un contour en mou- 

 vement décrit une sorte de surface canal, toute cloison jetée sur ce contour 

 balaie un volume qui est indépendant de la forme de la cloison, car faire 



