432 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



varier celle-ci revient à porter un même onglet d'un bout à l'autre du canal 

 (^Journal de Mathématiques pures et appliquées^ 1889). 



J'ai utilisé aussi la considération de certains onglets pour former des 

 volumes qui, ne dépendant que de contours, s'expriment à l'aide d'inté- 

 grales de ligne, dans des cas qui me semblent différents de ceux étudiés 

 par M. Kœnigs. 



Soient un contour S fixe et une cloison S limitée à ce contour. 



Si S sert de facette commune à deux solides complètement différents par 

 ailleurs (si, par exemple, S est une même base gauche pour deux cônes de 

 sommets différents), la différence des volumes de ces solides est un volume 

 qui ne dépend que du contour 2, car, faire varier S, c'est ajouter aux deux 

 volumes considérés nn même onglet. 



Cette remarque si simple permet, un volume étant connu, de lui en 

 adjoindre une infinité d'autres dont l'évaluation n'exige plus que le calcul 

 d'une intégrale de ligne étendue à S. 



Ainsi, soient U^, U^, U, les volumes cylindriques obtenus en projetant 

 sur les plans coordonnés, parallèlement à Ox,\Oy^ O5, tous les points de S. 

 On a 



Ua; = — / / pxdxdy, Uj =: — / / qydxdy, 1);=: / i zdxdy. 



Or ces volumes, pris deux à deux, ont des différences qui, d'après la 

 remarque précédente, ne doivent dépendre que du contour S de S. En fait, 

 la formule de Stokes donne facilement 



Uar — Uj= / xydz^ \]y — U;=: / yzdx, M. — Ua;=: / zxdy. 



Ceci posé, soit II un plan passant par l'origine et dont les cosinus directeurs 

 sont X, [x, V. Soit U le volume cylindrique obtenu en projetant tous les 

 points de S sur ce plan. On a 



"=/X"- 



f^/ + ^-) ( — ^i» — P-^ + '') dx ciy. 



Or, un volume tel que U — U; doit encore être exprimé par une intégrale 

 double transformable par la formule de Stokes. La transformation, un 

 peu plus difficile que la première, donne pour U — Uj une combinaison 



