SÉANCE DU 20 FÉVRIER igil. 433 



linéaire d'intégrales simples ayant toutes des significations géométriques 

 remarrfuables. En groupant convenablement les termes de l'égalité obtenue, 

 on peut l'écrire enfin 



U = }.- U^ -+-n-\Jy + V- U- + ftv ( XyZy -+- A. Y), ) H- v>. ( A,ï. -I- A^Ç^) + lix { A^-fl^ -1- Ay|_,-), 



si A.j;, A,, A, sont les aires planes contenues dans les projections de S faites 

 sur les plans coordonnés parallèlement à Oor, Or, Os et si les points 



(o, •'ix. ?x), ('iy,o,Ky), (çs, ris, o) 



sont les centres de gravité de ces aires planes. 



La forme seule de U donne lieu à d'intéressants problèmes. 



Les termes carrés en À-, u.-, v^ dépendent de la surface S, mais les termes 

 rectangles en [av, vX, 7.u. ne dépendent que du contour!,. Si le plan IT, au lieu 

 de pivoter autour de O, pivote autour d'un point (a, h, c), les parenthèses 

 des termes rectangles prennent la forme 



Ay{Ky-c)-^\,{r,^—l,), A,(;;— rt)-HA^(r^.-c), A^.(-n^— 6) + A,,(ç,.-a). 



Or ces expressions égalées à zéro donnent, en général, un point (a, b, c) 

 unique tel que, pour tous les plans pivotant autour de ce point, les volumes 

 U n'aient que des termes carrés. 



Cette première réduction est féconde en résultats géométriques ; elle 

 permet, par exemple, démontrer que, pour la courbe sphérique de Viviani, 

 le volume rationnel autrefois si remarqué fait partie d'une infinité d'autres 

 volumes rationnels attachés à la même portion de surface sphérique. 



Dans un ordre d'idées différent on peut traiter U, par rapport à "K, jx, v, 

 comme on traite le moment d'inertie d'un solide par rapport aux droites 

 passant par un point. Si, par O, on mène un vecteur OP(X, p., v), défini 

 en grandeur par l'égalité 



ÔPs/U = i, 



le lieu de P est une quadrique plus générale toutefois qu'un ellipsoïde 

 d'inertie, car un volume U peut être nul et, par suite, le rayon vecteur OP 

 peut devenir infini. 



J'ai éfiidié les conditions pour que cette quadrique ait un ou plusieurs des 

 plans coordonnés pour plans principaux. 



Enfin j'ai étendu tous les résultats précédents aux volumes coniques et 

 conoïdaux. 



