SÉANCE UU 27 KÉVRIEK I911. 4(>() 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'indétermi/ialion des fonctions uniformes 

 au voisinage de leurs coupures. Note de M. Jea.v Cmazy, prt'seiilée 

 par M. Emile Picard. 



Je veux préciser les résultats relatifs à l'allure de certaines fonctions uni- 

 formes au voisinage de certains points de leurs coupures, et montrer com- 

 ment ces résultats peuvent se déduire, en particulier au moyen d'équations 



ditTérentielles, de l'étude de la fonction exponentielle. 

 I 

 La fonction e "" tend vers zéro quand la variable a- =^ ; + r/] lend vers 

 l'origine sur un chemin sur lequel \:-r\- tend vers -(- se, par conséquent 

 même sur certains chemins tangents à l'origine à l'axe Oyj, mais dont l'ori- 

 gine n'est pas un point ordinaire. Sur un chemin sur lequel \ : y]- ne tend 



pas vers -f- cxd, la fonction e " est indéterminée : le domaine d'indétermi- 

 nation est une aire ou une ligne ; en particulier il est une ligne si c, : -q- tend 

 vers une limite finie. 



llicmann, en étudiant les produits infinis de la théorie des fonctions 

 elliptiques, a établi que la fonction modulaire lend vers une limite ([uand 



la variable tend vers un point d'abscisse rationnelle — de l'axe réel sur un 



chemin sur lequel ■/]'.(? ) lend vers l'infini; la limite est o, i ou x;, 



suivant que dans la fraction irréductible — > n ou m est pair, ou //; et n sont 

 impairs ('). On peut rattacher ce résultat à l'étude de la fonction expo- 

 nentielle parce que la fonction modulaire admet au voisinage du point — 



un développement holomorphe suivant les puissances de e ", h désignant 

 une constante négative. Ce développement peut être obtenu par la considé- 

 l'ation de la substitution parabolique faisant partie du groupe de la fonc- 

 tion modulaire, et dont le point — est le point double; et le procédé (-) est 



(') Wer/,e, 2" éd., p. ^d!\. Un passage de la Cnrrexpondance cV llermitc et de 

 Stiellj'es {l. 1, p. 196) peut laisser croire que la fonction modulaire ne lend vers 



une limite que si la variable lend vers le point — sur un chemin normal à l'axe 

 ' /( 



réel. 



(-) PoiNCARÉ, Acta mathematica, t. 1, p. 2i3; I'icard, Traité d' Analyse, t. 111, 

 p. 338. , 



