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applicable au cas général d'une fonction fiichsienne ou kleinêenno et du 

 point double d'une substitution parabolique d'iine telle fonction. Dans ce 

 même cas, le développement peut aussi être déduit de l'équation difTéren- 

 lielle algébrique du troisième ordre que vérifie la fonction fuchsienne ou 

 kleinéenne. 



Les développements de la fonction modulaire et des fondions connexes 

 suivant les puissances de r;'"-^ sont des cas particuliers des développements 

 précédents, dans lesquels le point double de la substitution parabolique 

 considérée est le point x = y:.. 



D'ailleurs si, sur le cliemin décrit par le point x, rj: (? — - ) , sans 



tendre vers l'infini, finit par être assez grand pour que le point 6''~« soit in- 

 térieur au cercle de convergence du développement liolomorpbe, ce 

 développement permet encore de déduire du domaine d'indétermination, 



ligne ou aire, de la fonction e' « sur le cliemin considéré le domaine 

 d'indétermination, ligne ou aire, de la fonction modulaire. Il y a donc des 



chemins tangents à l'axe réel au point — , et dont ce point est un point 



ordinaire, sur lesquels la fonction modulaire n'est pas complètement 

 indéterminée. 



Jacobi a montré que, si l'on considère une période co de l'intégrale 

 cllipti(|ue comme fonction du rapport des périodes x, cette fonction satisfait 

 à une équation différentielle algébrique du troisième ordre ('); cette 

 écjuation est écjuivalente au système 



, ,c/-û) , , rfto r,) f')|(>') 



co(r) et oj,(y) désignant deux intégrales distinctes de l'équation linéaire. 

 Pour un choix convenable des constantes d'intégration, la fonction y (a;) 

 définie par le système précédent est la fonction modulaire ; et il résulte de 

 ce système que, quand la fonction modulaire tend vers o ou i, la 

 fonction (i>{x) correspondante tend vers l'infini, et quand la fonction mo- 

 dulaire tend vers l'infini, la fonction ^^y(x) tend vers zéro. 



Or la fonction co(ir) admet comme la fonction modulaire l'axe réel 



(') Journal de Crelle^ t. :{0. 



