SÉANCE UU 27 FÉVRIER 1911. POI 



comaie coupure, cl peut être définie par la séino 



^2 (0 ( a- ) 





1 + 3 «'■''■' -1- ae'''^-''-)- 2 e'"'-' 4- . . . 



qui converge au-dessus de cet axe. La transformation e'"-^ = q fait corres- 

 pondre à la série précédente la série entière 



-{- 2fJ -h iq' + 27' + 37'" -H 



donl le cercle de convergence est le cercle de rayon i, et qui admet ce 

 cercle comme coupure. Cette série, pour ^ = — i, a été souvent citée 

 comme exemple de série divergente ('). Il résulte des remarques précé- 

 dentes qu'elle tend vers une limite quand le point (j = ce'^ tend vers un 

 point du cercle de convergence dont l'argument est commensurable avec t. 



sur un chemin sur lequel (i — p) : (0 ) tend vers l'infini, par consé- 



cpient même sur certains chemins tangents au cercle de convergence au 



point d'argument —-, mais dont ce point n'est pas un point ordinaire. La 



limite est ce ou o, suivant que les deux nombres m et n ne sont pas ou sont 

 impairs : au point q^ — i, elle est o. D'ailleurs la fonction n'est pas 

 complètement indéterminée sur tous les chemins tangents au cercle de 



convergence au point d'argument —7:, et dont ce point est un point ordi- 



in 



n 



naire. 



D'autres séries entières de la théorie des fonctions ellipti(jue§ peuvent 

 cire étudiées d'une manière analogue et ont une alluie analogue au voisi- 

 nage des points du cercle de convergence dont l'argument est commensu- 

 rable avec -. Telle est la série 



I + 7' - + 7-' -»- 7'' + q'-' -H . . . . 



qui est en relation simple avec la précédente (- ); au point d'argument — -, 



celle série a pour valeur-limite o ou ce, suivant que n est pair ou impair. 

 Cette série donne encore, pour q = ? , un exemple simple de série diver- 

 gente. 



(')^BoREL. Leçons sur les séries divergentes^ p. 7. 

 (-) Halphen, Comptes rendus^ 2 mai 1881, 



