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ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'approximation des fonctions 

 continues par des polynômes. Note de M. S. Bernsteix, pré- 

 sentée par M. Emile Picard. 



I. Dans un Mémoire (') qui vient de paraître, M. de la Vallée Poussin a 

 établi la proposition suivante : 



Si P„(a; ) est un polynôme de degré n, il est possible de fixer un nombre K 

 indépendant de n, tel que l'inégalité 



K 



(0 



P«(-^) 



< 



ne puisse certainement awir lieu sur tout le segment (— i , + i )• 



D'autre part, dans un autre Mémoire (-) paru il y a plus de deux ans, 

 réminent géomètre avait construit des polynômes P„ qui satisfont à une 

 inégalité un peu plus large. 



(2) 



l'«(-^-)-|.'-l 



< 



Is. 



II. Ayant obtenu par une méthode diflérente des résultats analogues et 

 plus complets à certains égards, je me permets d'indiquer brièvement les 

 principaux entre eux. 



D'abord, pour ce qui concerne la fonction |a;|, j'en ai fait une étude spé- 

 ciale qui m'a permis d'établir non seulementl'impossibilitéde rinégalité(i), 

 mais aussi de fixer un nombre k tel que Vinégalité 



(3) 



Vn{x) 



< 



n log// 



ne soit possible pour aucune râleur de n. 



III. J'ai obtenu de plus la proposition générale que voici ; 



S'il existe pour toute valeur de n des polynômes P„ de degré n (ou inférieur 



( ' ) Sur les polynômes d'appro.ii/iiatioii et ta n-prcse/ilalion approchée d'un angle 

 {Bull, de l'Acad. de Belgique, décembre 1910). 



(') Sur ta comcrgrnce des J'orniulcs d'interpolation entre ordonnées équidis- 

 lanles {/bid., a\ril 1908). 



