SÉANCE DU 27 FÉVRIER I9II. 5o3 



à n) tels que sur un segment AB on ait t inégalité 



k 



('.) in(.r)-/(.r)|< 



/i''(log/i)'^' 



K et t étant des nombres positifs indépendants de n, et p un entier positif 

 également indépendant de n, la fonction f{x) admet une dérivée finie et 

 continue d'ordre p sur le même segment (^extrémités exclues). 



Appliquée à la fonction \x\ dont la dérivée première est discontinue, 

 notre proposition générale ne permet pas d'afGrmer que l'inégalité (4) (avec 

 ^; = i) ne peut jamais avoir lieu, elle prouve seulement l'existence d'une 

 infinité de valeurs de «, où celle inégalité n'est pas remplie : le résultai 

 spécial indiqué plus haut est donc bien plus précis. Cela tient à la nature 

 particulière de la fonction \x\\ mais il est aisé de construire des fonctions 

 sans dérivées qui pour une infinité de valeurs de n (pas pour toutes, bien 

 entendu ) remplissent l'inégalité (4). 



IV. D'ailleurs les méthodes classiques permettent de construire des 

 polynômes P„ et de démontrer la proposition (') suivante qui est presque 

 la réciproque de la précédente. 



Si 1(1 fonction f(,v) admet une dérivée finie à variation bornée d'ordre p, il 

 est possible de construire pour toute râleur de n des polynômes l'„ de degré n 

 au plus, tels qu'on ait 



l/{.r)-P„(,/-)|<^. 



K étant indépendant de n. 



J'observerai qu'il est extrêmement probable que la restriction, que la 

 dérivée en question doit être à variation bornée, n'est pas essentielle, mais 

 provient uniquement de l'imperfection des méthodes de démonstration qui 

 ont pour point de départ la représentation des fonctions par des intégrales 

 définies. 



\ . Quoi qu'il en soil, il résulte des propositions des paragraphes III et I\ 

 c^wQ la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction f (x) admette 

 des dénvées de tous les ordres sur un segment AB est qu'il existe pour toute 



( ' ) Pour le cas de /J = t , celle proposilioii a été donnée par M. de la N'allée-Poussin 

 dans son ancien Mémoire cilé plus liaul. 



