SÉANCE DU 27 FÉVRIER I9II. 5o5 



l'espace ordinaire comme cas limite, (/osl ce que je me propose de faire 

 pour la pcnlasoric linéaire et, parmi les trois géomélries, c'est celle do 

 Lobalche^^slvi qui est ici la plus simple et lu seule que je veux envisager. 

 Définissons les coordonnées complexes d'une droite par les formules 



), :^ / + ij\ <j. = m + /'/, V — Il -f- ir, 



OÙ/, w, n, p, q, rsont les coordonnées pluckérionnes ordinaires. On sait 

 que le groupe des mouvements de l'espace hyperbolique est alors un simple 

 groupe orthogonal en \, a, v, mais à [)aramètres généralement complexes. 

 Ainsi, de même que les mouvements d'une sphère autour de son centre sont 

 déterminés par les coordonnées réelles de Kodrigucse.y, g, h, de même les 

 mouvements d'un corps solide dans l'espace hyperbolique dépendent de 

 quatre quantités complexes 



(1) e = c^+ic„ f — fo-^ifi, S'—go+igt, /i—/ia+i/ii, 



entre lesquelles existe la relation 



qui se décompose en 

 et 



^u e, -+- /o/i -^-^0^1 + /'o /( 1 = O. 



La signification des quantités e,/, g, /i est au reste fort simple. Si A, a, v 

 désignent les coordonnées de l'axe réel du mouvement hélicoïdal, qui 

 permet d'amener le corps solide de sa première à sa dernière position, 

 a l'angle de rotation, {3 la translation de ce mouvement hélicoïdal, X- le module 

 de la géométrie hyperbolique et 



2 2/: 

 on a 



(2) e^^cosii, f=zs\iui.'/., i; ^ s'\nii .ij., /(^sin«.v. 



On peut montrer que les e,y, g, h suivent, dans la composition des mou- 

 vements, les lois ordinaires de la multiplication des quaternions : ce sont 

 des biquaternions. 



Enfin la penlasérie linéaire de corps solides est définie par l'équation à 

 constantes réelles : 



rtoe„-(- «, fi -H 6(,/„ -i- 6,/i + co^o -I- Cl Si + «^o/'o -H (h l'\ = o, 

 C. R., 1911, I" Semestre. (T. 152, N" 9.) 66 



