SÉANCE DU 6 MARS 1911. 677 



2° La somme ct^ des intervalles 1„^ correspondant à une valeur fixe de/? 

 tend vers zéro lorsque p tend vers l'infini; 



L'ensemble des points intérieurs, quel que soit le nombre fixe yo, à l'un 

 au moins des 1„^, est évidemment de mesure nulle; nous dirons que c'est un 

 ensemble régulier. 



IL Lorsque p augmente indéfiniment, n restant fixe, les I,,^ ont pour 

 limite un point A„; les points A„ sont dits les points fondamentaux de 

 l'ensemble régulier. 



Remarques. — L On ne change pas la définition d'un ensemble régulier 

 en supprimant une infinité des entiers n, pourvu cpi'on en conserve une 

 infinité. 



II. Les points fondamentaux peuvent ne pas appartenir à l'ensemble; 

 ils peuvent aussi, dans des cas très particuliers ('), être les seuls points de 

 l'ensemble. 



Théorème I. — Tout ensemble de mesure nulle peut, d'une infinité de ma- 

 nières, être considéré comme faisant partie d'un ensemble régulier. 



Remarque. — L'importance des ensembles réguliers tient à ce que, 

 lorsqu'un ensemble de mesure nulle intervient dans une question, il y a 

 presque toujours avantage à lui substituer un ensemble régulier le conte- 

 nant; cette substitution est analogue au procédé classique par lequel on 

 compare une série dont le mode de convergence est mal connu à une série 

 plus convergente bien connue. 



Une première classification des ensembles réguliers est fournie par la 

 nature de l'ensemble dénombrable des points fondamentaux "A„; un cas 

 particulièrement intéressant est celui où cet ensemble est dense dans un 

 intervalle et ne comprend aucun point extérieur à cet intervalle. Pour 

 donner l'un des intervalles I„/„ il suffit alors d'indiquer, suivant les cas, 

 ou les indices des A„, qui coïncident avec ses extrémités, ou les indices 

 des A„j qui lui sont intérieuis. La définition de l'ensemble régulier est ainsi 

 entièrement arithmétisée, en vertu de la proposition suivante : 



Théorème IL — Étant donnés deux ensembles dénombrai) les A et B, denses 



(') Ensembles réductibles. 



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